Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Sous-groupe

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Sous-groupe

Exercice 1[ 02208 ][correction]
Soitω∈CetH={a+ωba b∈Z}.
Montrer queHest un sous groupe de(C+).

Exercice 2[ 02209 ][correction]
Soita∈C?etH={ann∈Z}.
Montrer queHest un sous groupe de(C?×).

Exercice 3[ 02210 ][correction]
Soitaun élément d’un ensembleE. On formeH={f∈S(E)|f(a) =a}.
Montrer queHest un sous-groupe de(S(E)◦)

Exercice 4[ 02211 ][correction]
Soit(G×)un groupe,Hun sous groupe de(G×)eta∈G.
a) Montrer queaH a−1=axa−1x∈Hest un sous groupe de(G×).
b) A quelle condition simpleaH={axx∈H}est un sous groupe de(G×)?

Exercice 5[ 02212 ][correction]
On appelle centre d’un groupe(G ?), la partieCdeGdéfinie par

C={x∈G| ∀y∈G x ? y=y ? x}

Montrer queCest un sous-groupe de(G ?).

Exercice 6[ 02213 ][correction]
Soitfab:C→Cdéfinie parfab(z) =az+baveca∈C? b∈C.
Montrer que({faba∈C? b∈C}◦)est un groupe.

Exercice 7[ 02214 ][correction]
On considère les applications deE=R {01}dans lui-mme définies par :

i(x) =x f(x) = 1−x g(x) =x1 h(x) =x−x1 k(x) =xx−1 ` 1( )
x=
1−x

Enoncés

a) Démontrer que ce sont des permutations deE.
b) Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de
l’ensembleG={i f g h k l}.
c) Montrer queGmuni de la composition des applications est un groupe non
commutatif.

1

Exercice 8[ 02215 ][correction]
SoitHetKdeux sous-groupes d’un groupe(G ?)tels queH∪Ken soit aussi un
sous-groupe. Montrer queH⊂KouK⊂H.

Exercice 9[ 02216 ][correction]
Soit(G ?)un groupe etAune partie finie non vide deGstable pour?.
a) Soitx∈Aetϕ:N→Gl’application définie parϕ(n) =xn.
Montrer queϕn’est pas injective.
b) En déduire quex−1∈Apuis queAest un sous-groupe de(G ?).

Exercice 10[ 02217 ][correction]
Poura∈N, on noteaZ={akk∈Z}.
a) Montrer queaZest un sous-groupe de(Z+).
On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe deZest de cette
forme.
b) Vérifier que le groupe{0}est de la forme voulue.
SoitHun sous-groupe de(Z+)non réduit à{0}.
c) Montrer queH+={h∈H|h >0}possède un plus petit élément. On note
a= minH+.
d) Etablir queaZ⊂H.
e) En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément deHparamontrer
queH⊂aZ.
f) Conclure que pour tout sous-groupeHdeZ, il existe un uniquea∈Ntel que
H=aZ.

Exercice 11[ 03354 ][correction]
Pourn∈N?, on noteUnl’ensemble des racinesnème de l’unité :
Un={z∈Czn= 1}

Montrer que

est un groupe multiplicatif.

V=[Un
n∈N?

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
H⊂C,0 = 0 +ω0∈H.
∀x y∈H, on peut écrirex=a+ωbety=a0+ωb0aveca b a0 b0∈Z.
x−y= (a−a0) +ω(b−b0)aveca−a0∈Zetb−b0∈Zdoncx−y∈H
.
AinsiHest un sous groupe de(C+).

Exercice 2 :[énoncé]
H⊂C?,1 =a0∈H.
∀x y∈H, on peut écrirex=anety=amavecn m∈Z.
x−1an−mavecn−m∈Zdoncxy−1∈H.
y=
AinsiHest un sous groupe de(C?×).

Exercice 3 :[énoncé]
H⊂S(E), IdE∈Hcar IdE(a) =a.
∀f g∈H,(f◦g)(a) =f(g(a)) =f(a) =adoncf◦g∈H.
∀f∈H,f−1(a) =acarf(a) =adoncf−1∈H.
AinsiHes un sous-groupe de(S(E)◦).

Exercice 4 :[énoncé]
a)aH a−1⊂G,e=aea−1∈aH a−1.
∀axa−1 aya−1∈aH a−1avecx y∈Hon a
(axa−1)(ay−1a−1) =a(xy−1)a−1∈aH a−1.
b)e∈aH⇒a−1∈H⇒a∈H. Inversementa∈H⇒a−1∈H⇒aH=H.
La condition simple cherchée esta∈H.

Exercice 5 :[énoncé]
C⊂Gete∈Gcar
∀y∈G,e ? y=y=y ? e
Soientx x0∈C. Pour touty∈G

x ? x0? y=x ? y ? x0y ? x ? x0
=

doncx ? x0∈C
Soitx∈C. Pour touty∈G,

x ? y−1=y−1? x

Corrections

donne

i.e.

−
(x ? y−1)−1= (y−1? x)1

−
y ? x−1=x1? y

doncx−1∈C.
AinsiCest un sous-groupe de(G ?).

Exercice 6 :[énoncé]
PosonsH={faba∈C? b∈C}et montrons queHest un sous-groupe de
(S(C)◦).
IdC=f10∈H.
Z=az+b⇔z= 1Z−b
a a
doncfab∈S(C)etfa−b1=f1a−ba. AinsiH⊂S(C)et

∀f∈H f−1∈H

Enfinfab◦fcd(z) =a(cz+d) +b=acz+ (ad+b)doncfab◦fcd=facad+b.
Ainsi,
∀f g∈H f◦g∈H

On peut conclure.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Il est clair quei,fetgsont des permutations deE.
h(x) =x x−1= 1 +x1−1= 1−1−1x=f(g(f(x)))donch=f◦g◦fet donc
h∈S(E).
De mmek=f◦g∈S(E)et`=g◦f∈S(E)
b)
◦i f g h k `
i i f g h k `
f f i k ` g h
g g ` i k h f
h h k ` i f g
k k h f g ` i
` ` g h f i k

c)Gest un sous groupe deS(E)carGcontienti, est stable par composition et
par passage à l’inverse. De plus ce groupe n’est pas commutatif carg◦f6=f◦g.

2

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Exercice 8 :[énoncé]
Par l’absurde supposons

H6⊂KetK6⊂H

Corrections

Il existeh∈Htel queh∈ Ketk∈Ktel quek∈ H.
On ah k∈H∪Kdonch ? k∈H∪KcarH∪Ksous-groupe.
Sih ? k∈Halorsk=h−1?(h ? k)∈HcarHsous-groupe. Or ceci est exclu.
Sih ? k∈Kalorsh= (h ? k)? k−1∈KcarKsous-groupe. Or ceci est exclu.
Ainsih ? k ∈H∪K. Absurde.

Exercice 9 :[énoncé]
a) L’applicationϕest à valeurs dansAqui est un ensemble fini et au départ deN
qui est infini doncϕn’est pas injective.
b) Par la non injectivité deϕ, il existen∈Netp∈N?tel queϕ(n+p) =ϕ(n).
On a alorsx(n+p)=xn? xp=xndoncxp=epar régularité dexn∈G.
Par suitex−1=x(p−1)∈A.
Aest non vide, stable pour?et stable par inversion doncAest un sous-groupe
de(G ?).

Exercice 10 :[énoncé]
a)aZ⊂Z,0 =a0∈aZ.
∀x y∈aZ, on peut écrirex=akety=a`aveck `∈Z.
x−y=a(k−`)aveck−`∈Zdoncx−y∈aZ.
AinsiaZest un sous-groupe deZ.
b) Poura= 0∈N,{0}=aZ.
c) PuisqueHest non vide et non réduit à{0}, il existeh∈Htel queh6= 0.
Sih >0alorsh∈H+, sih <0alors−h∈H(carHsous-groupe) et−h >0donc
+
−h∈H.
Dans les deux casH+6=∅.
H+est une partie non vide deNdoncH+possède un plus petit élément.
d)0∈Heta∈H.
Par récurrence, la stabilité deHdonne∀n∈N an=a+∙ ∙ ∙+a∈H.
Par passage à l’opposé, la stabilité deHpar symétrisation donne∀n∈Z an∈H.
AinsiaZ⊂H.
e) Soitx∈H. La division euclidienne dexpara6= 0donnex=aq+ravecq∈Z
et06r < a.
On ar=x−aqavecx∈Hetaq∈aZ⊂Hdoncr∈H.
Sir >0alorsr∈H+orr < a= minH+donc cela est impossible.
Il rester= 0ce qui donnex=aq∈aZ. AinsiH⊂aZet finalementH=aZ.
f) L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.

Soita b∈Ntel queaZ=bZ. On aa∈aZ=bZdoncb|aet de mmea|b, or
a b>0donca=b.

Exercice 11 :[énoncé]
Montrons queVest un sous-groupe du groupe(C?×).
La partieVest incluse dansC?et évidemment non vide.
Soientz∈V. Il existe