Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Groupes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Groupes

Exercice 1[ 02201 ][correction]
Soit(G ?)un groupe tel que

Montrer queGest commutatif.

∀x∈G x2=e

Exercice 2[ 02202 ][correction]
Soit(E ?)un monoïde de neutree. On suppose que

∀x∈E x?2=e

Montrer que(E ?)est un groupe abélien.

Exercice 3[ 02203 ][correction]
Soit(E ?)un monoïde avecEensemble fini.
On suppose que tous les éléments deEsont réguliers. Montrer queEest un
groupe.

Enoncés

Exercice 4[ 02204 ][correction]
Soit(G ?)un groupe ànéléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout
élément deGfigure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Exercice 5[ 02205 ][correction]
SoitG=R?×Ret?la loi de composition interne définie surGpar

(x y)?(x0 y0) = (xx0 xy0+y)

a) Montrer que(G ?)est un groupe non commutatif.
b) Montrer queR+?×Rest un sous-groupe de(G ?).

Exercice 6[ 02206 ][correction]
SurG= ]−11[on définit une loi?par
∀x y∈G x ? y=1x++xyy

Montrer que(G ?)est un groupe abélien.

Exercice 7[ 02207 ][correction]
[Addition des vitesses en théorie de la relativité]
Soitc >0(ccorrespond à la vitesse - ou célérité - de la lumière) etI= ]−c c[.
a) Montrer
∀(x)∈I2 x ? x+yy∈I
y y += 1xc2
b) Montrer que la loi?munitId’une structure de groupe abélien.
Cette loi?l’addition des vitesses portées par un mme axe encorrespond à
théorie de la relativité.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On observe que

donc

∀x∈G x−1=x

−
∀x y∈G,y ? x= (y ? x)1=x−1? y−1=x ? y

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Tout élémentxdeEest symétrisable et sym(x) =xdonc(E ?)est un groupe.
De plus
x ? y=sym(x ? y) =sym(y)?sym(x) =y ? x

donc(E ?)est abélien.

Exercice 3 :[énoncé]
?est associative et possède un neutree, il reste à voir que tout élémenta∈Eest
inversible.
Considérons l’applicationf:E→Edéfinie parf(x) =a ? x.
aest régulier donc l’applicationfest injective.
Eest fini doncfest bijective et par suite surjective d’où l’existence d’unb∈E
tel quea ? b=e.
f(e) =aetf(b ? a) =a ? b ? a=e ? a=adonc par l’injectivité def:b ? a=e.
Finalementaest inversible et(E ?)est un groupe.
On peut aussi partir def:N→Edéfinie parf(n) =a? nqui n’est pas injective.

Exercice 4 :[énoncé]
Si un élément figure deux fois dans une mme ligne correspondant aux valeurs de
composition avecx, c’est qu’il existea6=btel quex ? a=x ? b.
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc
impossible.
Comme le groupeGànélément, qu’il y ancases sur chaque ligne et que chaque
ligne ne peut contenir deux fois le mme élément, chaque ligne contient chaque
élément deGune fois et une seule.
On raisonne de mme avec les colonnes.

Exercice 5 :[énoncé]
a) La loi?est bien définie. Soient(x y)(x0 y0)(x00 y00)∈G

2

((x y)?(x0 y0))?(x00 y00) = (xx0 xy0+y)?(x00 y00) = (xx0x00 xx0y00+xy0+y)

et

(x y)?((x0 y0)?(x00 y00)) = (x y)?(x0x00 x0y00+y0) = (xx0x00 xx0y00+xy0+y)

donc?est associative.

(x y)?(10) = (x y)et(10)?(x y) = (x y)

donc(10)est élément neutre.

(x y)?(1x−yx) = (10)et(1x−yx)?(x y) = (10)

donc tout élément est symétrisable.
Finalement(G ?)est un groupe.
(12)?(34) = (36)et(34)×(12) = (310)donc le groupe n’est pas
commutatif.
b)H=R+?×Rest inclus dansG.
(10)∈H.
∀(x y)(x0 y0)∈H,(x y)?(x0 y0)∈H

carxx0>0

∀(x y)∈H,(x y)−1= (1x−yx)∈H

car1x >0.
AinsiHest un sous groupe de(G ?).

Exercice 6 :[énoncé]
Notons que1x++yxyexiste pour toutx y∈Gcar1 +xy >0.
On a
x+y−(1 +xy) = (1−x)(y−1)<0
donc1x++xyy<1et de mme1x++yyx>−1d’où

1x+yyx∈G
+

Par suite la loi?est bien définie.
La loi?est clairement commutative.

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Corrections

1x++xyy+xz+y+z+xyz
= =
z
1 +1x++yxy1 +xy+xz+yz

=x ?(y ? z)

Soientx y z∈G,

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(x ? y) +z
(x ? y)? z + (= 1x ? y)z

La loi?est donc associative.
0 est neutre pour?puisque

Enfin

donc tout élémentxdeGest symétrisable et sym(x) =−x.
Finalement(G ?)est un groupe commutatif.

∀x∈G x ?0 =x

∀x∈G,x ?(−x) = 0

∀x y z∈I,(x ? y)? z=x+yx+z+xyxc2z
1 +y+yc2z+z

b)?est clairement commutative.
?est associative puisque

∀x∈I,x ?0 = 0? x=x

=x ?(y ? z)
= 0

x ? y∈I⇔xy+c(x+y) +c2>0etxy−c(x+y) +c2>0
⇔(x+c)(y+c)>0et(x−c)(y−c)>0

Exercice 7 :[énoncé]
a) On a

Par suite

∀(x y)∈I2 x ? y∈I

3

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∀x∈I,(−x)? x=x ?(−x)

0 est élément neutre car

Enfin

donc tout élément deIest symétrisable dansI.
Finalement(I ?)est un groupe abélien.