Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Corps
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corps
Exercice 1[ 02243 ][correction]
Poura b∈R, on posea>b=a+b−1eta ? b=ab−a−b+ 2.
Montrer que(R> ?)est un corps.
Exercice 2[ 02244 ]
Soitd∈Ntel que√
[correction]
d∈Q, on note
Qh√di=na+b√d|(a b)∈Q
Montrer que(Qh√di+×)est un corps.
2o
Exercice 3[ 02245 ][correction]
SoitAun anneau commutatif fini non nul.
Montrer queAne possède pas de diviseurs de zéro si, et seulement si,Aest un
corps.
Exercice 4[ 02246 ][correction]
SoitFun sous corps de(Q+×). Montrer queF=Q.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soitϕ:R→Rdéfinie parϕ:x7→x−1.ϕest une bijection et on vérifie
ϕ(a>b) =ϕ(a) +ϕ(b)ainsi queϕ(a ? b) =ϕ(a)×ϕ(b). Par la bijectionϕ−1la
structure de corps sur(R+×)est transportée sur(R> ?).
Notamment, les neutres de(R> ?)sont 1 et 2.
Exercice 2 :[énoncé]
Montrons queQh√diest un sous-corps de(R+×).
Qh√di⊂R,1∈Qh√di.
Soientx y∈Qh√di, on peut écrirex=a+b√dety=a0+b0√davec
a b a0 b0∈Q.
x−y= (a−a0) + (b−b0)√daveca−a0 b−b0∈Qdoncx−y∈Qh√di.
xy= (aa0+bb0d) + (ab0+a0b)√davecaa0+bb0d ab0+a0b∈Qdoncxy∈Q
Six6= 0alors
1 1a−b√ bd a√d
= = =−
xa+b√d a2−db2a2−db2a2−db2
avec
a b db2∈Q
a−db2a2−
2
Notons que, icia−b√d6= 0car√d∈Q.
FinalementQh√diest un sous-corps de(R+×)et c’est donc un corps.
h√d
i.
Exercice 3 :[énoncé]
(⇐)corps est symétrisable donc régulier et n’est donctout élément non nul d’un
pas diviseurs de zéro.
(⇒)Supposons queAn’ait pas de diviseurs de zéros. Soita∈Atel quea6= 0.
Montrons queaest inversible Considérons l’applicationϕ:A→Adéfinie par
ϕ(x) =ax.
an’étant pas diviseur de zéro, on démontre aisément queϕest injective, orAest
fini doncϕest bijective. Par conséquent il existeb∈Atel queϕ(b) = 1i.e.
ab= 1. Ainsiaest inversible. FinalementAest un corps.
2
Exercice 4 :[énoncé]
01∈Fpuis par récurrence∀n∈N n∈F. Par passage à l’opposée∀p∈Z p∈F.
Par passage à l’inverse :∀q∈N?1q∈F. Par produit∀r=pq∈Q r∈F.
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