Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Théorème de Cayley Hamilton

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Théorème de Cayley Hamilton

Exercice 1[ 00834 ][correction]
Déterminer un polynôme annulateur de
A=bacd∈ M2(K)

ExprimerA−1lorsque celle-ci existe.

Exercice 2[ 00835 ][correction]
Soit
A∈λ01

...λ?n∈ Mn(K)

Montrer que(X−λ1)  (X−λn)est annulateur deA.

Exercice 3[ 03019 ][correction]
Soituun automorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finien∈N?.
Montrer queu−1est un polynôme enu.

Enoncés

Exercice 4[ 00836 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimensionn. On suppose
quefpossède une unique valeur propreλ.
a) A quelle condition l’endomorphisme est-il diagonalisable ?
b) Calculer le polynôme caractéristique def.
c) Justifier que l’endomorphismef−λId est nilpotent.

Exercice 5[ 00839 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimensionn.
On suppose qu’il existex∈EetN∈Ntels que(x f(x)     fN−1(x))soit une
famille génératrice deE.
a) Montrer que la famille(x f(x)     fn−1(x))est une base deE.
b) Démontrer que les endomorphismes commutant avecfsont les polynômes enf.

Exercice 6[ 00840 ][correction]
SoientA B M∈ Mn(C)telles queAM=M BavecM6=On.
a) Montrer que pour toutP∈C[X], on aP(A)M=M P(B).
b) Montrer queAetBont une valeur propre en commun.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02667 ][correction]
Montrer qu’il existe(a0     an−1)∈Rntel que :

n−1
∀P∈Rn−1[X] P(X+n) +XakP(X+k) = 0
k=0

Exercice 8Centrale MP[ 03114 ][correction]
Dans cet exercice,nest un entier supérieur ou égal à deux etqun nombre
complexe non nul tel que pour toutk∈Z?,qk6= 1. On considère également une
matriceA∈ Mn(C).
1. On suppose qu’il existeM∈GLn(C)telle que
M−1AM=qA

On notreχAle polynôme caractéristique deA. Déterminer une relation entre
χA(X)etχAqX.
En déduire queAest nilpotente.
2. Cette question est à résoudre à l’aide du logiciel de calcul formel.
Dans cette question, on suppose queq= 2et queAest donnée par :
000001100100
A0010=00100000
0 0 0 0 1
0000000

a) Déterminer les matricesM∈ M6(C)vérifiant

AM= 2M A

b) Que dire de l’ensemble des matricesM ?ainsi obtenues
c) Déterminer les matricesM∈GL6(C)vérifiant
M−1AM= 2A

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

1

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Exercice 9Centrale PC[ 03185 ][correction]
a) Soituun endomorphisme inversible d’unK-espace vectorielEde dimension
finie.
Montrer qu’il existe un polynômeQ∈K[X]vérifiant

−
u1=Q(u)

b) Soitul’endomorphisme deK[X]qui envoie le polynômeP(X)surP(2X).
Montrer queuest un automorphisme et déterminer ses éléments propres.
Existe-t-ilQ∈K[X]tel que
−1Q(u)?
u=

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 03755 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice inversible.
Montrer queAest triangulaire supérieure si, et seulement si,Akl’est pour tout
k>2.
Donner un contre-exemple dans le cas où l’on ne suppose plus la matriceA
inversible.

Exercice 11CCP MP[ 03693 ][correction]
Soit la matrice
A=0b−0b−ca∈ M3(R)
−a c0
a)Aest-elle diagonalisable dansM3(R)?
b)Aest-elle diagonalisable dansM3(C)?
c) Soitλ la matriceun réel non nul ;B=A+λI3est-elle inversible ?
d) Montrer qu’il existe trois réelsα β γtels que

B−1=αA2+βA+γI3

Exercice 12CCP MP[ 03299 ][correction]
Soientn>2,AetBdes matrices deMn(Z)de déterminants non nuls et
premiers entre eux.
Montrer qu’il existeUetVdansMn(Z)telles que

U A+V B=In

(on pourra écrireχA(X) =XQA(X) + detA)
On donnera un exemple pourn= 2.

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
χA=X2−(a+d)X+ (ad−bc)annule matriceA.
On en déduit
A−1=ad1−bc((a+d
)I2−A)

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
χA= (λ1−X)  (λn−X)annuleAen vertu du théorème de Cayley Hamilton.

Exercice 3 :[énoncé]
Considérons le polynôme caractéristique deu:

χu=anXn+∙ ∙ ∙+a1X+a0aveca0= detu6= 0

˜
Puisqueχu(u) = 0, on obtient

Par suite

˜
anun+∙ ∙ ∙+a1u+a0Id= 0

anun+∙ ∙ ∙+a1u=−a0Id

En composant avecu−1à gauche on obtient

et on en déduit

−1
anun−1+∙ ∙ ∙+a1Id=−a0u

u−1=−a1anun−1+∙ ∙ ∙+a1IdE∈K[u]
0

Exercice 4 :[énoncé]
a) Sifest diagonalisable alorsfest représenté parλIndans une certaine base et
doncfune homothétie vectorielle. La réciproque est immédiate.est
b) Calculé dans une base de triangulation,χf(x) = (x−λ)n.
˜
c)χfest annulateur defdans(f−λId)n= 0.

3

Exercice 5 :[énoncé]
a) Le polynôme caractéristique defest un polynôme de degrénannulantf.
Ainsifn∈Vect(Id f     fn−1). Par récurrence, on montre alors que pour tout
m>n,fm∈Vect(Id f     fn−1).
Par suitefn(x)     fN−1(x)∈Vect(x f(x)     fn−1(x))puis
E=Vect(x f(x)     fN−1(x))donneE=Vect(x f(x)     fn−1(x)). La famille
(x f(x)fn−1(x))est alors génératrice et formée den= dimEvecteurs deE,
    
c’est donc une base deE.
b) Les polynômes enfcommute avecf.
Inversement, supposons queg∈ L(E)commute avecf. Puisqueg(x)∈E, on peut
écrireg(x) =a0x+a1f(x) +∙ ∙ ∙+an−1fn−1(x).
Puisquefetgcommute, on a encore
g(fk(x)) =a0fk(x) +a1fk+1(x) +∙ ∙ ∙+an−1fn+k−1(x)de sorte que les
endomorphismesgeta0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1coïncident sur une base deEet
c’est donc égaux. Au finalfest un polynôme enf.

Exercice 6 :[énoncé]
a)A2M=AM B=M B2et ainsi de suite :ApM=M Bppour toutp∈N. Par
linéaritéP(A)M=M P(B).
b) ConsidéronsP=χA. La relationP(A)M=M P(B)entraîneM P(B) =On. Or
M6=Ondonc la matriceP(B)n’est pas inversible. Par suitedet(P(B)) = 0. Or
n
P= (−1)nY(X−λi)
i=1
avecλivaleur propre deAdonc il existei∈ {1     n}telle que

det(B−λiIn) = 0
AinsiAetBont une valeur propre commune.

Exercice 7 :[énoncé]
ConsidéronsT:P(X)7→P(X+ 1).Test un endomorphisme deRn−1[X]qui est
n−1
annulé par son polynôme caractéristique de la formeχT= (−1)n(Xn+PakXk).
k=0

Exercice 8 :[énoncé]
1. Puisque les matricesAetqAsont semblables, elles ont le mme polynôme
caractéristique
χA(X) =χqA(X) = det(qA−XIn) =qndetA−IqXn=qnχAqX

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Corrections

Introduisons les coefficients du polynômeχA
χA(X) =anXn+∙ ∙ ∙+a1X+a0
L’égalité précédente entraînean−1=  =a1=a0carqk6= 1pour tout
16k6n−1. AinsiχA=anXnet puisqueχAest annulateur deA, la matriceA
est nilpotente.
2.
On définit la matriceA
A:=matrix(6, 6, (i, j)->if j=i+1 or (i=1 and j=6) then 1 else 0 fi);
a) On introduit une matriceMquelconque et on calculeAM−2M A
M:=matrix