Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Sous-espaces vectoriels stables

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Sous-espaces vectoriels stables

Enoncés

Exercice 1[ 00755 ][correction]
Soientuetvdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.
On suppose queuetvcommutent, montrer que Imuetkerusont stables parv.
Que dire de la réciproque ?

Exercice 2[ 00756 ][correction]
Montrer qu’un endomorphismefd’unK-espace vectorielEcommute avec un
projecteurpsi, et seulement si, les espaces Impetkerpsont stables parf.

Exercice 3[ 00757 ][correction]
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme de dérivation
dansK[X].

Exercice 4[ 00758 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
On pose
∞ ∞
N=[kerupetI=\Imup
p=0p=0
a) Montrer qu’il existen∈Ntel queN= kerunetI=Imun.
b) Etablir queNetIsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par
uet tels que les restrictions deuàNetIsoient respectivement nilpotente et
bijective.
c) Réciproquement on supposeE=F⊕GavecFetGsous-espaces vectoriels
stables parutels que les restrictions deuàFetGsoient respectivement
nilpotente et bijective. EtablirF=NetG=I.

Exercice 5[ 03462 ][correction]
[Endomorphisme cyclique]
Soientuendomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finien>2.
On suppose queEest le seul sous-espace vectoriel non nul stable paru.
a) L’endomorphismeu ?possède-t-il des valeurs propres
b) Montrer que pour toutx∈E\ {0E}, la famille(x u(x)     un−1(x))est une
base deE.
Quelle est la forme de la matrice deudans cette base ?
c) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix dex.

1

Exercice 6[ 00759 ][correction]
Soientuetvdeux endomorphismes d’unK-espace vectoriel de dimensionn∈N?.
On supposeu◦v=v◦uetvnilpotent.
On désire montrer quedet(u+v) = detuen raisonnant par récurrence sur la
dimensionn>1.
a) Traiter le casn= 1et le casv= 0.
b) Pourn>2etv6= 0, former les matrices deuetvdans une base adaptée à Imv.
c) Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions deuetvau
départ de Imv.

Exercice 7Centrale MP[ 00760 ][correction]
SoitE=E1⊕E2unK-espace vectoriel. On considère
Γ ={u∈ L(E)keru=E1et Imu=E2}
a) Montrer, pour toutudeΓque˜u=uE2est un automorphisme deE2.
Soitφ: Γ→GL(E2)définie parφ(u) = ˜u.
b) Montrer que◦est une loi interne dansΓ.
c) Montrer queφest un morphisme injectif de(Γ◦)dans(GL(E2)◦).
d) Montrer queφest surjectif.
e) En déduire que(Γ◦) ?est un groupe. Quel est son élément neutre

Exercice 8[ 00761 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel muni d’une baseB,f∈ L(E)etHun hyperplan.
a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel{u∈E?u(H) ={0}}?
b) Montrer que siHa pour équationu(x) = 0alorsHest stable parfsi, et
seulement si,u◦fest colinéaire àu.
c) SoientAetLles matrices dansBdefetu.
Montrer queHest stable parfsi, et seulement si,tLest vecteur propre detA
d) Déterminer les plans stables par
−31−21−41
A=1−2−2

Exercice 9Centrale MP[ 02492 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes l’espace euclidien deR3canoniquement
représentés par
A=−212234−014etB=−100−−111−302

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Enoncés

a) Trouver les droites vectorielles stables parf.
b) SoitPun plan deR3de vecteur normal~n. Montrer quePest stable parfsi,
et seulement si, Vect(~n)est stable parf?.
En déduire les plans stables parf.
c) Donner les droites et les plans stables parg.

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02726 ][correction]
SoitEun espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E)tel que

u3=Id

Décrire les sous-espaces stables deu.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02897 ][correction]
On noteE=C(RR)et on pose, pour toutef∈Eet toutx∈R,
T f(x) =f(x) +Z0xf(t) dt

a) L’opérateurTest-il un automorphisme deE?
b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel deEde dimension finie impaire et stable
parT?

Exercice 12[ 03464 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielEde dimension finie non nulle
Montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable paru.

Exercice 13X MP[ 03474 ][correction]
SoientKun corps etA1 A2     Andes matrices deMn(K)nilpotentes
commutant deux à deux.
Montrer
A1A2   An=On

Exercice 14Centrale PC[ 03745 ][correction]
Soientfune endomorphisme deRnetAsa matrice dans la base canonique de
Rn. On suppose queλest une valeur propre non réelle deAet queZ∈Cnest un
vecteur propre associé.

On noteXetYles vecteurs deRndont les composantes sont respectivement les
parties réelles et imaginaires des composantes deZ.
a) Montrer queXetYsont non colinéaires.
b) Montrer que Vect(X Y)est stable parf.
c) On suppose que la matrice defest donnée par
−11001021
A=0 0−1 0
1 0 0 1

Déterminer tous les plans stables parf.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 15CCP MP[ 03205 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE
vérifiant
u3+u= 0

a) Montrer que l’espace Imuest stable paru.
b) Pourx∈Imu, calculeru2(x)
c) Soitvl’endomorphisme induit parusur Imu.
Montrer quevest un isomorphisme.
d) En déduire que le rang de l’endomorphismeuest un entier pair.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
∀y∈Imu∃x∈E y=u(x)etv(y) =v(u(x)) =u(v(x))∈Imudonc Imuest
stable parv.
∀x∈keru u(x) = 0doncu(v(x)) =v(u(x)) =v(0) = 0etv(x)∈keru. Ainsikeru
est stable parv.
La réciproque est fausse, siuest un automorphisme il est certain que Imu=Eet
keru={0}seront stables parvalors qu’il n’y aucune raison queuetv
commutent.

Exercice 2 :[énoncé]
Supposonsf◦p=p◦f. Pour toutx∈kerp,p(f(x)) =f(p(x)) = 0donc
f(x)∈kerp.
Rappelons Imp= ker(p−Id). Pour toutx∈Imp,p(f(x)) =f(p(x)) =f(x)donc
f(x)∈Imp.
Inversement. Supposonskerpet Impstables parf. Pour toutx∈E, on peut
écrirex=u+vavecu∈kerpetv∈Imp. On a alorsf(p(x)) =f(v)et
p(f(x)) =p(f(u) +f(v)) =f(v)doncp◦f=f◦p.

Exercice 3 :[énoncé]
LesKn[X]etK[X]sont des sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme
de dérivation.
SoitFun sous-espace vectoriel stable.
SiFest de dimension finie alors les polynômes deFsont de degrés bornés.
SoitPun polynôme deFde degrénmaximal. On aF⊂Kn[X].
Or la famille des polynômesP P0 P00     P(n)est de degrés étagés et formés
d’éléments deFcarFest stable pour la dérivation donc
Kn[X] =Vect(P P0     P(n))⊂FpuisF=Kn[X].
SiFn’est pas de dimension finie alors pour toutm∈N,F6⊂Km[X]et donc il
existeP∈Ftel quen= degP > m. Or en raisonnant comme ci-dessus, on
démontreKn[X]⊂Fet doncKm[X]⊂F. Ainsi∀m∈N,Km[X]⊂Fdonc
F=K[X].
Finalement lesKn[X]etK[X]sont les seuls sous-espace vectoriels stables pour
l’endomorphisme de dérivation.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Rappelons que les suites(kerup)p∈Net(Imup)p∈Nsont respectivement

3

croissante et décroissante pour l’inclusion. La suite(dim kerup)p∈Nest une suite
croissante et majorée d’entiers naturels, elle est donc stationnaire :
∃n∈N∀p>ndim kerup= dim kerunorkerup⊃kerundonckerup= kerun
puisN= kerun. Aussi
dimImup= dimE−dim kerup= dimE−dim kerun= dimImunet Imup⊂Imun
donc Imup=ImunpuisI=Imun.
b)dimN+ dimI= dim kerun+ dimImun= dimEen vertu du théorème du rang.
Soitx∈N∩I. Il existea∈Etel quex=un(a)et alorsun(x) = 0donc
u2n(a) = 0. Ainsia∈keru2n= kerundoncx=un(a) = 0. AinsiN∩I={0}
d’oùE=N⊕I.
uetuncommutent doncNetIsont stables paru.
(uN)n= (un)kerun