Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme en un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Polynôme en un endomorphisme

Exercice 1[ 00753 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetu∈ L(E).
On suppose qu’il existe un vecteurx0∈Etelle que la famille
(x0 u(x0)     un−1(x0))soit libre.
Montrer que seuls les polynômes enucommutent avecu.

Exercice 2[ 00754 ][correction]
Soitu∈ L(E)vérifiantu3=Id. Justifier

ker(u−Id)⊕ker(u2+u+Id) =E

Exercice 3[ 03423 ][correction]
SoientA B∈ Mn(K). On suppose qu’il existe un polynôme non constant
P∈K[X]vérifiant
AB=P(A)etP(0)6= 0

Montrer queAest inversible et queAetBcommutent.

Enoncés

Exercice 4X MP[ 03033 ][correction]
SoientAetBdansMn(R). On suppose queAest nilpotente et qu’il existe
P∈R[X]tel queP(0) = 1etB=AP(A). Montrer qu’il existeQ∈R[X]tel que
Q(0) = 1etA=BQ(B).

Exercice 5[ 03210 ][correction]
SoientA∈GLn(C)etB∈ Mn(C)telle queBp=On.
a) Montrer queIn+A−1BAest inversible et exprimer son inverse.
b) On pose
H={In+P(B)P∈C[X] P(0) = 0}
Montrer queHest un sous-groupe commutatif de(GLn(C)×).

Exercice 6CCP PSI[ 02598 ][correction]
SoientAetBdeux matrices réelles carrées d’ordrentelles qu’il existe un
polynômeP∈R[X]degré au moins égal à 1 et vérifiantde P(0) = 1et
AB=P(A).
Montrer queAest inversible et queAetBcommutent.

Exercice 7[ 02574 ][correction]
DansMn(R), on considère la matrice
0

J=

(0)

1
.
.
.

.
.
.
.
.
.

(0)

1
0

Exprimer simplementP(aIn+J)pourP∈R[X].





1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La famille(x0 u(x0)     un−1(x0))constitue une base deE. Soitv∈ L(E)
commutant avecu. On peut écrirev(x0) =a0x0+a1u(x0) +∙ ∙ ∙+an−1un−1(x0).
Considérons alorsw=a0Id+a1u+∙ ∙ ∙+an−1un−1∈K[u].v(x0) =w(x0)et
puisquevetwcommutent avecu, on a aussiv(uk(x0)) =w(uk(x0)). Les
endomorphismesvetwvaleurs sur une base, ils sont donc égauxprennent mme
et ainsiv∈K[u].

Exercice 2 :[énoncé]
Le polynômeX3−1 = (X−1)(X2+X+ 1)est annulateur deuavec les facteurs
X−1etX2+X+ 1premiers entre eux, il suffit alors d’appliquer le lemme des
noyaux pour conclure !

Exercice 3 :[énoncé]
Le polynômePs’écrit

P(X) =P(0) +a1X+∙ ∙ ∙+apXp

L’égalitéAB=P(A)donne alors

A(B−(a1In+a2A+∙ ∙ ∙+apAp−1)) =P(0)In

On en déduit queAest inversible et son inverse est

A−1=P1()0B−a1In+a2A+∙ ∙ ∙+apAp−1

l’égalitéA−1A=Indonne alors

BA=P(A)

et on peut conclure queAetBcommutent.

Exercice 4 :[énoncé]
On sait qu’il existep∈N?tel queAp=On.
En introduisant les coefficients deP, la relationB=AP(A)donne
B=A+a2A2+∙ ∙ ∙+ap−1Ap−1
.
On en déduit

B2=A2+a32A2+∙ ∙ ∙+ap−12Ap−1,. . . ,Bp−2=Ap−2+ap−1p−2Ap−1,
p−1
Bp−1=A.
En inversant ces équations, on obtient
Ap−1=Bp−1,Ap−2=Bp−2+bp−1p−2Ap−1. ,
,. .
A2=B2+b32B3+∙ ∙ ∙+bp−12Bp−1et enfinA=B+b21B2+∙ ∙ ∙+bp−11Bp−1
ce qui détermine un polynômeQ∈R[X]vérifiantQ(0) = 1etA=BQ(B).
Exercice 5 :[énoncé]
a) PosonsN=−A−1BA. On a
Np= (−1)pA−1BpA=On

donc
In=In−Np= (I−N)(I+N+N2+∙ ∙ ∙+Np−1)
On en déduit queI−N=In+A−1BAest inversible et
In+A−1BA−1=I+N+N2+∙ ∙ ∙+Np−1
b) SoitP∈C[X]tel queP(0) = 0. On a

Donc

P(X) =aX+bX2+∙ ∙ ∙

P(B) =aB+bB2+∙ ∙ ∙

2

puis
P(B)p=apBp+b0Bp+1+On
∙ ∙ ∙=
On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que
la matriceIn+P(B)est inversible et que son inverse est de la forme
In−P(B) +P(B)2+∙ ∙ ∙+ (−1)pP(B)p
On en déduit queHest inclus dans GLn(C)et que l’inverse d’un élément deH
est encore dansH.
Il est immédiat de vérifier queHest non vide et stable par produit. On en déduit
queHest un sous-groupe de(GLn(C)×). Enfin, on vérifie queHest commutatif
car les polynômes en une matrice commutent entre eux.

Exercice 6 :[énoncé]
AB=P(A) =αnAn+∙ ∙ ∙+α1A+IndoncAαnAn−1+∙ ∙ ∙+α1In−B=In.
Par le théorème d’inversibilité,Aest inversible etA−1=αnAn−1+∙ ∙ ∙+α1In−B.
PuisqueAcommute avecA−1et ses puissances, on en déduit queAcommute
avecB=αnAn−1+∙ ∙ ∙+α1I−A−1.

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Exercice 7 :[énoncé]
Par la formule de Taylor ena

P(X)

+∞
=X
k=0

P(k)(a)(X−a)k
k!

donc
+∞
P(aIn+J) =XP(kk)!(a)Jk
k=0
Il est facile de calculer les puissances deJet l’on conclut


P(aIn+J) =


P(a)

(0)

P0(a)
.
.
.

P00(a)
2!
.
.
.
.
.
.

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.

P(n−1)(a)
(n−1)!

.
P00(a)
2!
P0(a)
P(a)





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