Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme caractéristique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Polynôme caractéristique

Enoncés

Exercice 1[ 00778 ][correction]
a) Montrer que deux matrices semblables ont le mme polynôme caractéristique.
b) Réciproque ?

Exercice 2[ 00779 ][correction]
SoitFsous-espace vectoriel stable par un endomorphismeun ud’unK-espace
vectorielEde dimension finie.
Etablir que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit parusurF
divise le polynôme caractéristique deu.

Exercice 3[ 00780 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)inversible de polynôme caractéristiqueχA.
Etablir que pour toutx6= 0,

χA−1(x) = (−χ1A()n0x)nχA(1x)

Exercice 4[ 00781 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C)désire établir l’égalité des polynômes caractéristiques. On

χAB=χBA

a) Etablir l’égalité quandA∈GLn(C).
b) PourA∈GLn(C), justifier que pourp∈Nassez grandA+1pIn∈GLn(C).
En déduire que l’égalité est encore vraie pourAnon inversible.

Exercice 5[ 01109 ][correction]
SoientA B∈ Mn(K)etp∈N?. Etablir

χ(AB)p=χ(BA)p

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02696 ][correction]
SoitA B∈ Mn(R). Montrer queABetBAont mme valeurs propres.

Exercice 7[ 02901 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). Montrer

χAA¯∈R[X]

1

Exercice 8[ 01272 ][correction]
SoientA∈ Mnp(K),B∈ Mpn(K)etλ∈K. En multipliant à droite et à gauche
la matrice
M=−BλInAIp∈ Mn+p(K)
par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établir

(−λ)pχAB(λ) = (−λ)nχBA(λ)

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02697 ][correction]
Soit(A B)∈ Mpq(R)× Mqp(R). Montrer que

XqχAB(X) =XpχBA(X)

Indice : Commencer par le cas o

ù
A=I0r00

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02698 ][correction]
a) SiP∈Z[X]est unitaire de degrén, existe-t-ilA∈ Mn(Z)de polynôme
caractéristiqueP?
n
b) Soient(λ1     λn)∈Cn,P=Q(X−λi). On supposeP∈Z[X].
i=1
n
Montrer, siq∈N?, quePq=Q(X−λqi)appartient àZ[X].
i=1
c) SoitPdansZ[X]unitaire dont les racines complexes sont de modules61.
Montrer que les racines non nulles dePsont des racines de l’unité.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02699 ][correction]
SoientAetBdansMn(K)(K=RouC).
a) Comparer SpBet SptB.
b) SoitC∈ Mn(K). Montrer que s’il existeλpour lequelAC=λC, alors
ImC⊂ker(A−λIn).

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Enoncés

c) Soitλune valeur propre commune àAetB. Montrer qu’il existeC∈ Mn(K),
C6= 0, telle queAC=CB=λC.
d) On suppose l’existence deC∈ Mn(K)avec rgC=retAC=CB. Montrer que
le PGCD des polynômes caractéristiques deAetBest de degré>r.
e) Etudier la réciproque de d).

Exercice 12[ 03083 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle que SpA⊂R+.
Montrer
detA>0

Exercice 13[ 03121 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C). Etablir

χA(B)∈GLn(C)⇔SpA∩SpB=∅

Exercice 14Centrale MP[ 03213 ][correction]
Soientn>2etf∈ L(Cn)endomorphisme de rang 2.
Déterminer le polynôme caractéristique defen fonction de trfet trf2.

Exercice 15[ 03476 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R). On suppose qu’il existeMdansMn(R)de rangrtel que
AM=M B.
Montrer quedeg(χA∧χB)>r.
SoientAetBdansMn(K)(K=RouC).

Exercice 16CCP MP[ 02521 ][correction]
PourA= (aij)∈ Mn(C)etB= (bij)∈ Mn(C), on définitA ? B∈ Mn2(C)par
A ? B=aa1n.11BB∙∙∙∙∙∙aa1n.nnBB

a) Montrer que siA A0 B B0∈ Mn(C)alors(A ? B)(A0? B0) = (AA0)?(BB0).
b) En déduire queA ? Best inversible si, et seulement si,AetBsont inversibles.
c) Déterminer le spectre deA ? B.
En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant deA ? B.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SiB=P−1APalorsχB= det(P−1AP−P−1XP) =χA.
b) InversementA=0010etB=0000ne sont pas semblables mais ont
mme polynôme caractéristique.

Exercice 2 :[énoncé]
SoitGun supplémentaire deFune base adaptée à la décomposition. Dans
E=F⊕G, la matrice deuest triangulaire supérieure par blocs et en calculant le
polynômes caractéristique deupar cette matrice on obtient immédiatement la
propriété demandée.

Exercice 3 :[énoncé]
A−1det(Id(−etx)AndetA−1x I
χA−1(x) = det(A−1−xI) = det−xA) =

donc

(x () =χ−Ax0)()nχA(1x)
χA−1

Exercice 4 :[énoncé]
a) Pourx∈C,
det(AB−xIn) = detAdet(B−xA−1) = det(B−xA−1) detA= det(BA−xIn)
doncχAB(x) =χBA(x).
b) La matriceA+1pInn’est pas inversible seulement si−1pest valeur propre de
A. Puisque la matriceAne possède qu’un nombre fini de valeurs propres, pourp
assez grand on est sûr queA+1pIn∈GLn(C).
Comme vu ci-dessus, pourx∈C,

χ(A+p1In)B(x) =χB(A+1pIn)(x)

En passant à la limite quandp→+∞, on obtientχAB(x) =χBA(x).
Ceci valant pour toutx∈C, les polynômesχABetχBAsont égaux.

Exercice 5 :[énoncé]
Il est bien connu que

On en déduit

∀M N∈ Mn(K) χM N=χN M

χ(AB)p=χ[A(BA)p−1]B=χB[A(BA)p−1]=χ(BA)p

3

Exercice 6 :[énoncé]
Il est classique d’établirχAB=χBAen commençant par établir le résultat pourA
inversible et le prolongeant par un argument de continuité et de densité.

Exercice 7 :[énoncé]
On a

¯
χAA¯(X) = det(AA−XIn)

donc en conjuguant
¯
χAA¯(X) = det(AA−XIn) =χA¯A(X)
Or il est bien connu que pourA B∈ Mn(C)

On obtient donc

et par conséquent

χAB=χBA

χAA¯=χAA
¯

χAA¯∈R[X]

Exercice 8 :[énoncé]
D’une part
λInAp −BInIOppn=OBAp−nλInIAp
B I



D’autre part
−IBn−OλnIpp λInA=−OλpInnBA−−λIAp
B Ip
En passant au déterminant, on obtient
detM×(−1)n=χAB(λ)et(−1)n(−λ)pdetM= (−λ)nχBA(λ)
et on en déduit
(−λ)pχAB(λ) = (−λ)nχBA(λ)

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Exercice 9 :[énoncé]
Dans le cas où

A=Jr=I0r00

la propriété est immédiate en écrivant
BCE
=

D
F





Corrections

avecCbloc carré de tailler.
Dans le cas général, on peut écrireA=QJrPavecr=rgAetP Qinversibles.

donc

XqχAB(X) =XqχQ−1ABQ(X) =XqχJrP BQ(X)

XqχAB(X) =XpχP BQJr(X) =XpχBQJrP(X) =XpχBA(X)

Exercice 10 :[énoncé]
a) Oui un tel polynôme existe, il suffit de se référer aux matrices compagnons.
Notons qu’il est entendu, qu’ici, le polynôme caractéristique d’une matrice carrée
Aest définie parχA= det(XIn−A).
b) Il existe une matriceAdont le polynôme caractéristique estP. Celle-ci est
ice triangulaire de la formeλ01...?λn
semblable à une matr et doncAq
λ1q..?. Ainsi le polynôme caractéristique deAqestPq
est semblable à0.λq
n
et puisqueAqest à coefficients entiers,Pql’est aussi.
c) Compte tenu des relations