Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude de matrices diagonalisables
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Etude de matrices diagonalisables
Exercice 1[ 00796 ][correction]
Montrer que siAest diagonalisable alorstAl’est aussi.
Exercice 2[ 01673 ][correction]
SoientA∈GLn(K)etB∈ Mn(K).
On suppose la matriceABdiagonalisable. Montrer queBAest diagonalisable.
Exercice 3[ 00797 ][correction]
SoientA1∈ Mp(K),A2∈ Mq(K)etA∈ Mp+q(K)définie par
A=A1OA2
O
Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,A1etA2le sont.
Exercice 4[ 00798 ][correction]
SoientA∈ Mn(K)etB=AOIOn.
a) Etudier les valeurs propres deBen fonction de celles deA.
b) On supposeAdiagonalisable.B ?est-elle diagonalisable
Exercice 5Centrale PC[ 03113 ][correction]
a) SoitD∈ Mn(C). Déterminer l’inverse de
D
OInnIn
Enoncés
b) SoientA B∈ Mn(C)diagonalisables telles que SpA∩SpB=∅.
Montrer que pour tout matriceC∈ Mn(C), les matrices suivantes sont semblables
A On
OAnBCetOnB
Exercice 6[ 02453 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)avecBdiagonalisable.
Montrer
AB3=B3A⇒AB=BA
Exercice 7[ 03122 ][correction]
Soientp q∈N?etA B M∈ Mn(C)avecA Bdiagonalisables. Montrer
ApM Bq=On⇒AM B=On
1
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
SiAest diagonalisable alors il existe une matricePinversible telle que
P−1AP=Ddiagonale. En transposant,tPtAt(P−1) =Dc’est-à-dire
QtAQ−1=DavecQ=tPinversible d’inverseQ−1=t(P−1).
Exercice 2 :[énoncé]
Il existe des matricesP∈GLn(K)etD∈Dn(K)telles que
On a alors
puis
AB=P DP−1
A(BA)A−1=P DP−1
BA= (A−1P)D(P−1A) = (A−1P)D(A−1P)−1
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
SoientF1etF2des sous-espaces vectoriels supplémentaires de dimensionpetq
d’unK-espace vectorielE. SoitB= (B1B2)une base adaptée à la
supplémentarité deF1etF2etf1,f2etfles endomorphismes deF1,F2etE
déterminés par Mat(f1B1) =A1, Mat(f2B2) =A2et Mat(fB) =A. Il est clair
que pour toutλ∈K, on aEλ(f) =Eλ(f1)⊕Eλ(f2). En caractérisant la
diagonalisabilité par la somme des dimensions des sous-espaces propres, on
conclut à l’équivalence voulue.
Exercice 4 :[énoncé]
a)X=X1,
X2
BX=λX⇔X2=λX1etAX1=λX2⇔X2=λX1etAX1=λ2X1.
Par conséquentλest valeur propre deBsi, et seulement si,λ2est valeur propre
deA.
b) SiA=OnalorsAest diagonalisable mais pasB.
En effet, 0 est la seule valeur propre deBalors queB6=On.
Exercice 5 :[énoncé]
a) On vérifie
In
On
−1
D
In=OInn
−InD
b) On observe
OInnIDn−1AOnCB OInnIDn=AOn
EB
avecE=AD+C−DB.
Pour conclure, montrons qu’il existeD∈ Mn(C)vérifiantDB−AD=C.
Considérons pour cela l’endomorphismeϕdeMn(C)défini par
ϕ(M) =M B−AM
PourM∈kerϕ, on aM B=AM.
Pour toutXvecteur propre deBassocié à une valeur propreλ, on a
AM X=M BX=λM X
2
Puisqueλest valeur propre deB,λn’est pas valeur propre deAet donc
M X=On1.
Puisqu’il existe une base de vecteurs propres deBet puisque chacun annuleM,
on aM=On.
Ainsi l’endomorphismeϕest injectif, orMn(C)est de dimension finie doncϕest
bijectif. Ainsi il existe une matriceDtelleϕ(D) =Cet, par celle-ci, on obtient la
similitude demandée.
Exercice 6 :[énoncé]
Il existe des matricesP∈GLn(R)etD∈Dn(R)telles que
SiAB3=B3Aalors
puis on obtient
B=P DP−1
AP D3P−1=P D3P−1A
M D3=D3M
avecM=P−1AP.
Notonsmijle coefficient général deMetλ1 λnles coefficients diagonaux de
D.
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La relationM D3=D3Mdonne
∀(i j)∈ {1 n}2 mijλ3j=mijλi3
et donc
3
∀(i j)∈ {1 n}2 mij= 0ouλi3=λj
Comme la fonctionx7→x3est injective surR, on obtient
et donc
puis
∀(i j)∈ {1 n}2 mij= 0ouλi=λj
Exercice 7 :[énoncé]
On peut écrire
M D=DM
AB=BA
A=P DP−1etB=QΔQ−1
avecP Q∈GLn(K)etDΔ
SiApM Qq=Onalors
∈ Mn(K)diagonales.
DpNΔq=On
Corrections
avecN=P−1M Q= (nij).
En notantλ1 λnetµ1 µnles coefficients diagonaux deDetΔ, on obtient
et donc
puis
∀(i j)∈ {1 n}2 λiqnijµqj= 0
∀(i j)∈ {1 n}2 λinijµj= 0
ce qui permet de conclure.
DNΔ =On
3
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