Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres d'une matrice

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Eléments propres d’une matrice

Enoncés

Exercice 1[ 00772 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)vérifiant rg(A) = 1.
Montrer qu’il existeλ∈Ktel queA2=λAet que ce scalaireλest valeur propre
deA.

Exercice 2[ 00773 ][correction]
PourA∈ Mn(R), on pose
n
kAk= su6pnjX=1|aij|
16i

Montrer que

sp(A)⊂[− kAkkAk]

Exercice 3[ 00774 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Mn(R)vérifiant pour touti j∈ {1     n}aij>0et pour tout
n
i∈ {1     n},Paij= 1.
j=1
a) Montrer que1∈Sp(A).
b) Justifier que siλ∈Cest valeur propre deAalors|λ|61.
c) Observer que siλ∈Cest valeur propre deAet vérifie|λ|= 1alorsλ= 1.

Exercice 4[ 03280 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Mn(R)vérifiant pour touti j∈ {1     n}aij∈R+et pour
n
touti∈ {1     n},Paij= 1.
j=1
a) Montrer que1∈Sp(A).
b) Justifier que siλ∈Cest valeur propre deAalors|λ|61.
c) Observer que siλ∈Cest valeur propre deAet vérifie|λ|= 1alorsλest une
racine de l’unité.

Exercice 5[ 00775 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)vérifiantAB−BA=A.
a) CalculerAkB−BAkpourk∈N.
b) A quelle condition la matriceAkest-elle vecteur propre de l’endomorphisme
M7→M B−BMdeMn(R)?
c) En déduire que la matriceAest nilpotente.

Exercice 6[ 00776 ][correction]
Soientn∈N?etE=Mn(R). PourA∈E, on introduitu:E→Edéfini par

u(M) =AM

Montrer queAetuont les mmes valeurs propres et préciser les sous-espaces
propres deuen fonction de ceux deA.

1

Exercice 7[ 00777 ][correction]
SoientA∈ Mn(C)etΦAl’endomorphisme deMn(C)définie parΦA(M) =AM.
a) Montrer que les valeurs propres deΦAsont les valeurs propres deA.
b) Déterminer les valeurs propres deΨA:M7→M A.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02729 ][correction]
Soit la matriceA∈ Mn(R)donnée parA= (min(i j))16ij6n.
a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unitéLet une matrice triangulaire
supérieureUtelle queA=LU.
b) ExprimerA−1à l’aide de
 (0)0 1
. .

N=


c) Montrer que SpA−1⊂[04].

(0)

.
.

.
.
.
.
.

Exercice 9X MP[ 02861 ][correction]
Déterminer les valeurs propres de la matrice
0∙ ∙ ∙0 1



.
0∙ ∙ ∙
1∙ ∙ ∙

1
0

1.110.∈ Mn(R)

Exercice 10[ 03173 ][correction]
Soitn∈N,n>2les valeurs propres de la comatrice de. Déterminer A∈ Mn(C).
On commencera par étudier le cas où la matriceAest inversible.

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Exercice 11Centrale MP[ 03204 ][correction]
SoitAn= (aij)∈ Mn(R)la matrice définie par

aii= 0etaij=jsii6=j

Enoncés

a) A l’aide de Maple, calculer les valeurs approchées des valeurs propres deA2,A3
et, si possibleA10.
b) Siλest valeur propre deAn, montrer que

Xnk1
=
k=1k+λ

c) Nombre et localisation des valeurs propres deAn?
d) On appellexnla valeur propre deAnstrictement comprise entre−2et−1.
Quel est le sens de variation de la suite(xn)?
e) Limite de(xn)et développement asymptotique à deux termes.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 12[ 03316 ][correction]
Soientn>3et
0 (0)
.
A= 1..
.1 (0)...

1



.∈ Mn(R)
10

a) Calculer les rangs deAetA2
.
b) Soitfl’endomorphisme deRncanoniquement représenté par la matriceA.
Montrer
kerf⊕Imf=Rn

c) En déduire que la matriceAest semblable à une matrice de la forme
0 (0)
.
.
.avecB∈GL2(R)
)0(0B

d) Calculer trBet trB2.
En déduire les valeurs propres deBpuis celles deA.
e) La matriceA ?est-elle diagonalisable

Exercice 13[ 03672 ][correction]
Soit(a0     ap−1)∈Cp. On suppose que 1 est racine simple de
P(X) =Xp−ap−1Xp−1+∙ ∙ ∙+a1X+a0

On suppose la convergence d’une suite(un)n∈Ndéterminée par sesppremiers
termesu0     up−1et la relation de récurrence

un+p=ap−1un+p−1+∙ ∙ ∙+a1un+1+a0un

Déterminer la limite de(un)n∈N.

Exercice 14CCP MP[ 02543 ][correction]
Expliquer brièvement pourquoi

tcom(A)A= det(A)In

On suppose queAadmetnvaleurs propres distinctes que vaut ;det(A)?
Que représente un vecteur propre deApourtcom(A)?
On suppose de plus queAn’est pas inversible. Déterminer

dim kertcomA

Prouver quetcomAn’admet que deux valeurs propres, les expliciter.

Exercice 15[ 02613 ][correction]
Soient
 (0)0 1
. .
. .
1. .
An=∈ Mn(C)
(0). . . .1..01

etχnson polynôme caractéristique.
a) Calculer
un=χn(−2 cosα)

pour toutα∈]0 π[.
b) Déterminer les valeurs propres deAn.
Quelle est la dimension des sous-espaces propres deAn?
c) Déterminer les sous-espaces propres deAn

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Indice : on pourra, pourλvaleur propre deAn, chercher
x1

X=x.n

vérifiantAX=λXet poserx0=

∈ Mn1(C)

xn+10.
=

Enoncés

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On retraduit le problème en termes d’endomorphismes. Soituun endomorphisme
d’unK-espace vectoriel de dimension finie vérifiant rg(u) = 1. Soitx∈keru. On a
Vect(x)⊕keru=E.u(x)∈Edonc on peut écrireu(x) =λx+yavecy∈kerude
sorte queu2(x) =λu(x). On observe alors queu2etλucoïncident sur Vect(x)et
bien sûr surkerudoncu2=λu. De plus, poury∈Im(u)\ {0},y=u(a),
u(y) =u2(a) =λu(a) =λydoncλest valeur propre deu.

Exercice 2 :[énoncé]
Soientλ∈Sp(A)etX6= 0tels queAX=λX.
Posonsi∈ {1     n}tel que|xi|=16mka6xn|xk|. On axi6= 0et

d’où|λ|6kAk.

n n
|λxi|=Xaijxj6X|aij| |xi|6kAk |xi|
j=1j=1

Exercice 3 :[énoncé]
a) Le vecteurX=t(1  1)est évidemment vecteur propre associé à la valeur
propre 1.
b) Soientλ∈Sp(A)etX=t(x1   xn)un vecteur propre associé. Soiti0l’indice
vérifiant
xi= max|xi|
|0|16i6n

n
On a|xi0| 6= 0et la relationAX=λXdonneλxi0=Pai0jxjdonc
j=1

n n n
|λ| |xi0|=Xai0jxj6X|ai0j| |xj|6Xai0j|xi0|=|xi0|
j=1j=1j=1

puis|λ|61.
c) Si de plus|λ|= 1alors il y a égalité dans l’inégalité précédente.
L’égalité dans la deuxième inégalité entraîne|xj|=|xi0|pour toutj∈ {1     n}
car les coefficients de la matriceAsont tous non nuls.

L’égalité dans la première inégalité entraîne que les complexes engagés sont
positivement liés et donc qu’il existeθ∈Rtel que pour toutj∈ {1     n},

xj=|xj|eiθ

4

On en déduitx1=  =xnpuisλ= 1.
Exercice 4 :[énoncé]
a) Le vecteurX=t(1  1)est évidemment vecteur propre associé à la valeur
propre 1.
b) Soientλ∈Sp(A)etX=t(x1   xn)un vecteur propre associé. Soiti0l’indice
vérifiant
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