Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité des matrices de rang 1
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Diagonalisabilité des matrices de
Exercice 1[ 00793 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)telle que rgA= 1.
Etablir
rang
1
Adiagonalisable si, et seulement si, trA6= 0
Exercice 2[ 00794 ][correction]
SoientX Y∈ Mn1(K)non nuls.
A quelle condition la matriceXtYest-elle diagonalisable ?
Exercice 3Centrale MP[ 02391 ][correction]
SoientKun sous-corps deCet
J=1.∙ ∙ ∙.1∈ Mn(K)
1∙ ∙ ∙1
Montrer queJest diagonalisable.
Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02702 ][correction]
Soit(a1 an)∈Cn. La matrice(aiaj)16ij6n ?est-elle diagonalisable
Exercice 5[ 00791 ][correction]
Parmi les matrices élémentairesEijdeMn(K) ?, lesquelles sont diagonalisables
Exercice 6CCP PSI[ 02595 ][correction]
Soient(a1 an)∈(R?+)net
aa12aa12∙∙∙∙∙∙aa21
N=
a.na.n∙ ∙ ∙a.n
CalculerN2, la matriceN ?est-elle diagonalisable
Montrer queM= 2N+Inest inversible et calculerM−1.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Via un changement de bases réalisé de sorte que les premiers vecteurs soient dans
le noyau deA, on peut écrire
P−1AP=On0−1λ?
avecλ=trA.
Siλ6= 0alorsλest valeur propre deAce qui permet de diagonaliserA.
SiAest diagonalisable, sachant queAn’est pas nulle,λ6= 0.
Exercice 2 :[énoncé]
PosonsM=XtY. On aM2=X(tY X)tY. Orα=tY Xest un scalaire donc
M2=αXtY=αM.
Siα6= 0alorsMannule le polynôme scindé simpleX(X−α)et doncMest
diagonalisable.
Siα= 0alorsMannule le polynômeX20 est la seule valeur propreet donc
possible. SiMest diagonalisable alorsMest semblable à la matrice nulle et donc
M=On. Ceci est exclu car on suppose les colonnesXetYnon nulles.
Au finalMest diagonalisable si, et seulement si,α6= 0.
Notons queα=tr(tY X) =tr(XtY) =trMet queMest une matrice de rang 1.
On peut montrer qu’une matrice de rang 1 est diagonalisable si, et seulement si,
sa trace est non nulle.
Exercice 3 :[énoncé]
NotonsB= (e1 en)la base canonique deKnetfl’endomorphisme deKn
dont la matrice dansBestJ.
Posonsε1=e1+∙ ∙ ∙+en, de sorte quef(ε1) =nε1.
Puisque rgf=rgJ= 1, on peut introduire(ε2 εn)base du noyau def.
Il est alors clair queB0= (ε1 εn)est une base deKnet que la matrice def
dans celle-ci est diagonale.
Exercice 4 :[énoncé]
n
En posantM= (aiaj)16ij6n, on vérifieM2=λMavecλ=Pa2k.
k=1
Siλ6= 0alorsMannule un polynôme scindé simple, elle est donc diagonalisable.
Siλ= 0alorsM2= 0et doncMest diagonalisable si, et seulement si,M= 0ce
qui revient à(a1 an) = 0.
Exercice 5 :[énoncé]
Eiiest diagonale donc diagonalisable.
Pouri6=j,χEij(X) = (−1)nXndonc seul 0 est valeur propre. Par suite siEij
est diagonalisable alorsEij= 0 once qui est inEij
correct. Conclusi
diagonalisable si, et seulement si,i=j.
Exercice 6 :[énoncé]
On obtientN2=sNavecs=a1+∙ ∙ ∙+an.
Puisques >0,Nannule un polynôme scindé simple et donc est diagonalisable.
−12n’est pas valeur propre deNcar n’est pas racine du polynôme annulateur
X2−sXdoncMest inversible. En recherchantM−1de la formexM+yIn, on
obtient
M−1=In−(2 +s)N
2
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