Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Calcul de polynôme minimal

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul de polynôme minimal

Exercice 1[ 00841 ][correction]
Soit

DéterminerµA.

Exercice 2
Soit

A=1011

[ 00842 ][correction]
0 1
M=.∈ Mn(R)avecn>2
.
.
1 0

a) Montrer queMest diagonalisable.
b) Déterminer le polynôme minimal deM.
c) CalculerMppourp∈N.

Exercice 3[ 00843 ][correction]
Soitaun réel. PourM∈ Mn(R), on pose

L(M) =aM+tr(M)In

Enoncés

a) Montrer queLest un endomorphisme deMn(R), trouver ses éléments propres
et son polynôme minimal.
b) Pour quelsa,Lest-il un automorphisme ? Trouver son inverse dans ces cas.

Exercice 4[ 00845 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimensionn.
a) On suppose quefest diagonalisable. A quelle condition existe-t-il un vecteur
x∈Etel que la famille formée des vecteursx1=x,x2=f(x1),. . . ,xn=f(xn−1)
forme une base deE?
b) On ne suppose plusfdiagonalisable mais on suppose l’existence d’une base
(x1 x2     xn)deEdu type précédent. Déterminer le commutant def. Quel est
le polynôme minimal def?

1

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02710 ][correction]
On pose
A=100101010
Que dire de cette matrice ? Sans la diagonaliser, déterminer son polynôme
caractéristique, son polynôme minimal, calculerAkpourk∈Net évaluerexp(A).

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02707 ][correction]
Soienta b∈R,b6= 0etA∈ Mn(R)la matrice dont les éléments diagonaux
valentaet les autres valentb.Aest-elle diagonalisable ? Quelles sont les valeurs
propres deA? Quel est le polynôme minimal deA? Sous quelles conditions sura
etb,Aest-elle inversible ? Lorsque c’est le cas trouver l’inverse deA.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02701 ][correction]
Soienta∈R?et
0a a2
=1a21a0
A1a0a
a) Calculer le polynôme minimal deA.
b) La matriceAest-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.
c) CalculereA
.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02711 ][correction]
Soit
A=000−11000
0
dansM3(R). Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de
A. CalculerexpAetexp(A) exp(tA).

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02712 ][correction]
Soit
A=j1j2jj12j1j2
Etudier la diagonalisabilité deA, déterminer les polynômes minimal et
caractéristique deA, calculerexpA. Proposer une généralisation en dimensionn.

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Exercice 10CCP MP[ 02497 ][correction]
Soitaun réel. PourM∈ Mn(R)(avecn>2), on pose

L(M) =aM+tr(M)In

a) Montrer queLest un endomorphisme deMn(R)et trouver ses éléments
propres et son polynôme minimal.
b) Pour quelsa, l’endomorphismeLest-il un automorphisme ?
Trouver son inverse dans ces cas.

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
µA|χA= (X−1)2maisAn’est pas diagonalisable, doncµA= (X−1)2.

Exercice 2 :[énoncé]
a) 1ère méthode :

−λ
det(M−λIn) =...
1

1
−λ

Corrections

(n−1)−λ1∙ ∙ ∙1
(n−1)−λ−λ1
= =
.
.
..
(n−1)−λ1−λ
1 1∙ ∙ ∙1
0−λ−1 0
((n−1)−λ).
.
.?.
0? ?−λ−1
puisdet(M−λIn) = ((n−1)−λ)(−λ−1)n−1et donc sp(M) ={−1(n−1)}.
Soitfl’application linéaire canoniquement associée àM.
f(x1  xn) = (x1  xn)⇔x1++xn= 0.
DoncE−1est l’hyperplan d’équationx1++xn= 0.
PuisqueEn−1est au moins une droite vectorielle, la matriceMest diagonalisable.
2ème méthode :
Par le calcul, on obverse queM2= (n−1)In+ (n−2)M.
Par suite,Mannule le polynôme scindé simple(X+ 1)(X−(n−1))et doncM
est diagonalisable.
b) Le polynôme minimal deMest(X+ 1)(X−(n−1))car en vertu de la
première méthode, la connaissance des valeurs propres deMdétermine son
polynôme minimal sachantMet, pour la deuxième méthode, cediagonalisable
polynôme est annulateur alors que les polynômesX+ 1etX−(n−1)ne le sont
pas.
Par division euclidienneXp= (X+ 1)(X−(n−1))Q+αX+β
En évaluant la relation en−1et enn−1, on obtient
+β= (−1)p
avec(α(n−−α1) +β= (n−1)p
Après résolution
βα((==nn−−))11ppn−+((nn−1−)p1)(−1)p
d’oùMp=(n−1)p−(−1)pM
n+(n−1)p+(nn−1)(−1)pIn.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Il est clair queLest linéaire.
Si tr(M) = 0alorsL(M) =aM.
aest valeur propre deLet le sous-espace propre associé est l’hyperplan des
matrices de trace nulle.
Si tr(M)6= 0alorsL(M) =λMimpliqueM∈Vect(In). OrL(In) = (a+n)In
donca+nest valeur propre deLle sous-espace propre associé est la droiteet
Vect(In).
L’endomorphismeLest donc diagonalisable et par suite
µL(X) = (X−a)(X−(a+n)).
b) En dimension finie,Lest un automorphisme si, et seulement si,0∈Sp(L)i.e.
a6= 0−n.
Puisque
L2−(2a+n)L+a(a+n)I= 0

on a

et donc

L−1=a(a+1n) (L−(2a+n)I)

L−1(M) =a(a+1n) (tr(M)In−(a+n)M)

3

Exercice 4 :[énoncé]
a) Notonsα1     αnles composantes dexdans une base de diagonalisationBde
f. La matrice de la famille(x1     xn)dans la baseBest
α1λ1   α1λ1n
αn.λn   αn.λnn

avecλ1     λnles valeurs propres defcomptées avec multiplicité. Cette matrice
est de rangn, si, et seulement si,

n
λ1 λ  1
α1     αn6= 0et. .6= 0
λn λ  nn

Par déterminant de Vandermonde, on peut assurer l’existence dextel que voulu
si, et seulement, si les valeurs propres defdeux à deux distincts et nonsont
nulles. N’importe quelxcomposantes toutes non nulles est alors convenable.aux
b) Les polynômes enfcommutent avecf.

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Corrections

Supposons quegsoit un endomorphisme deEcommutant avecf.
On peut écrireg(x1) =a1x1+∙ ∙ ∙+anxn=P(f)(x1)avec
P=a1+a2X+∙ ∙ ∙+an−1Xn−1
.
On a alors
g(x2) =g(f(x1)) =f(g(x1)) =f(P(f)(x1)) =P(f)(f(x1)) =P(f)(x2).
Plus généralement, en exploitantxk=fk−1(x1), on obtientg(xk) =P(f)(xk).
Les endomorphismesgetP(f)coïncident sur les éléments d’une base, ils sont
donc égaux. Finalement, le commutant defest exactement formé des polynômes
enf.
Si le polynôme minimalΠfdefest de degré< nalors la famille(Id f     fn−1)
est liée et alors pour toutx∈E, la famille(x f(x)     fn−1(x))l’est aussi. Cela
contredit l’hypothèse de départ. On peut donc affirmer quedeg Πf>net puisque
Πf|χf, on aΠf= (−1)χfavecχfpolynôme caractéristique def.

Exercice 5 :[énoncé]
Aest symétrique donc diagonalisable.χA=−X3+ 2X,πA=−χA.
=0101101
A20 2

A3= 2A,A2k+1= 2kAetA2k+2= 2kA2pourk >0.

+∞2k k21(ch(2)−1)A2
exp(A) =I3+kX=0(2k+ 1)!A+k=+X∞122(k−)1!A2=I3+sh(2)A+

Exercice 6 :[énoncé]
Aest symétrique donc diagonalisable.

χA= (−1)n(X−(a+ (n−1)b)(X