Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Arithmétique des polynômes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Arithmétique des polynômes

Exercice 1[ 02133 ][correction]
Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
a)X−1|X3−2X2+ 3X−2b)X−2|X3−3X2+ 3X−2c)
X+ 1|X3+ 3X2−2.

Exercice 2[ 02134 ][correction]
SoitP∈K[X].
a) Montrer queP(X)−XdiviseP(P(X))−P(X).
b) En déduire queP(X)−XdiviseP(P(X))−X.
c) On noteP[n]=P◦  ◦P(composition àn>1facteurs).
Etablir queP(X)−XdiviseP[n](X)−X

Exercice 3[ 03407 ][correction]
SoitP∈K[X]. Montrer queP(X)−XdiviseP(P(X))−X.

Exercice 4[ 02135 ][correction]
SoitA B∈K[X]tels queA2|B2. Montrer queA|B.

Exercice 5[ 02136 ][correction]
SoitA B∈K[X]non constants et premiers entre eux.
Montrer qu’il existe un unique couple(U V)∈K[X]2tel que
AU+BV= 1et(gedgde<U<VegdgdeAB

Exercice 6[ 02137 ][correction]
Soit(A B)∈K[X]2non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i)AetBne sont pas premiers entre eux.
(ii) il existe(U V)∈(K[X]− {0})2tel que

AU+BV= 0,degU <degBetdegV

<degA

Enoncés

1

Exercice 7[ 02138 ][correction]
SoitA B∈K[X]non nuls.
Montrer :AetBsont premiers entre eux si, et seulement si,A+BetABle sont.

Exercice 8[ 02139 ][correction]
SoientA B C∈K[X]tels queAetBsoient premiers entre eux.
Montrer
pgcd(A BC) =pgcd(A C)

Exercice 9CCP MP[ 02580 ][correction]
On cherche les polynômes

P(X) = (X−a)(X−b)∈C[X]

tels queP(X)diviseP(X3).
Montrer que, sia=b,P∈R[X]et que sia6=beta36=b3, il existe 6 polynômes
dont 4 dansR[X].
Trouver les polynômesPsia6=beta3=b3et en déduire que 13 polynômes en
tout conviennent, dont 7 dansR[X].

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)X3−2X2+ 3X−2 = (X−1)(X2−X+ 2).
b)X3−3X2+ 3X−2 = (X−2)(X2−X+ 1).
c)X3+ 3X2−2 = (X+ 1)(X2+ 2X−2).

Exercice 2 :[énoncé]
p
On écritP=PakXk∈K[X]
k=0
a) On a
n
P(P(X))−P(X) =Xak[P(X)]k−Xk
k=0
avecP(X)−Xdivisant[P(X)]k−Xkcar

k−1
ak−bk= (a−b)Xa`bk−1−`
`=0

Corrections

b)P(X)−Xdivise le polynômeP(P(X))−P(X)et le polynômeP(X)−X. Il
divise donc leur sommeP(P(X))−X.
c) Par récurrence surn∈N?.
La propriété est immédiate pourn= 1et vient d’tre établie pourn= 2.
Supposons la propriété vraie au rangn>1.
P[n+1](X)−P(X) =k=Xp0akhP[n](X)ik−Xk
P[n](X)−XdiviseP[n](X)k−XkdoncP[n](X)−XdiviseP[n+1](X)−P(X).
Par hypothèse de récurrence,P(X)−Xdivise alorsP[n+1](X)−P(X)et enfin on
en déduit queP(X)−XdiviseP[n+1](X)−X.
Récurrence établie.

Exercice 3 :[énoncé]
Puisque

P(P(X))−X= (P(P(X))−P(X)) + (P(X)−X)
le problème revient à montrer queP(X)−XdiviseP(P(X))−P(X).

p
On écritP=PakXk∈K[X]et on a
k=0
n
P(P(X))−P(X) =Xak[P(X)]k−Xk
k=0

avecP(X)−Xdivisant[P(X)]k−Xkcar

k−1
ak−bk= (a−b)Xa`bk−1−`
`=0

On en déduit queP(X)−Xdivise le polynômeP(P(X))−P(X)et donc le
polynômeP(P(X))−X.

Exercice 4 :[énoncé]
PosonsD=pgcd(A B). On aD2=pgcd(A2 B2)associé àA2donc
degD2= degA2puisdegD= degA.
OrD|AdoncDetAsont associés. PuisqueD|B, on obtientA|B.

2

Exercice 5 :[énoncé]
ˆ ˆ ˆ ˆ
Unicité : Soit(U V)et(U  V)deux couples solutions. On aA(U−U) =B(V−V).
ˆ ˆ ˆ
A|B(V−V)etA∧B= 1doncA|V−V. Ordeg(V−V)<degAdonc
ˆ
V−V= 0.
ˆ ˆ
Par suiteV=Vet de mmeU=U.
Existence : PuisqueA∧B= 1, il existeU V∈K[X]tels queAU+BV= 1.
ˆ ˆ
Réalisons la division euclidienne deUparB:U=BQ+UavecdegU <degB.
ˆ ˆ ˆ ˆ
Posons ensuiteV=V+AQ. On aAU+BV=AU+BV= 1avecdegU <degB.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
CommedegAU+BV <max(degAU degBV)on adegAU= degBV
ˆ ˆ
d’oùdegV= degA+ degU−degB <degA.

Exercice 6 :[énoncé]
(i)⇒(ii) PosonsD=pgcd(A B)qui est non constant.
PuisqueD|AetD|Bon peut écrireA=DVet−B=DUavecdegV <degA
etdegU <degB.
de sorte queAU+BV=DU V−DU V= 0.
(ii)⇒(i) Supposons (ii)
Si par l’absurdeA∧B= 1alors, puisqueA| −BVon aA|V.
OrV6= 0doncdegA6degVce qui est exclu. Absurde.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
SiA∧B= 1alors il existeU V∈K[X]tels queAU+BV= 1.
On a alorsA(U−V) + (A+B)V= 1doncA∧(A+B) = 1. De mme
B∧(A+B) = 1.
Par suiteAB∧(A+B) = 1.
SiAB∧(A+B) = 1alors puisque pgcd(A B)|ABet pgcd(A B)|A+Bon a
pgcd(A B) = 1puisA∧B= 1
.

Exercice 8 :[énoncé]
pgcd(A C)|Aet pgcd(A C)|Cdonc pgcd(A C)|BCpuis
pgcd(A C)|pgcd(A BC).
Inversement. PosonsD=pgcd(A BC). On aD|AetA∧B= 1doncD∧B= 1.
De plusD|BCdonc par le théorème de Gauss,D|Cet finalement
D|pgcd(A C).

Exercice 9 :[énoncé]
Sia=balors(X−a)2divise(X3−a)2si, et seulement si,aest racine au moins
double de(X3−a)2. Ceci équivaut àa3=ace qui donnea∈ {−101}.
Les polynômes solutions correspondant sont alorsX2(X−1)2et(X+ 1)2, tous
réels.
Sia6=balors(X−a)(X−b)divise(X3−a)(X3−b)si, et seulement si,aet etb
sont racines de(X3−a)(X3−b).
a
Sia36=b3alorsaetbsont racines(X3−a)(X3−b)si, et seulement si,(b33==ba
a3=b
u(b3=a
o .
Dans le premier cas, sachanta6=b, on parvient aux polynômes
X(X−1) X(X+ 1)et(X−1)(X+ 1).
a3=b
Puisque(b3=a⇔(ab9==a3a, dans le second cas, on parvient à
(X−eiπ4)(X−e3iπ4),X2+ 1et(X−e−iπ4)(X−e−3iπ4).
Ainsi quanda6=beta36=b3, on parvient à 6 polynômes dont 4 réels.
Enfin, sia6=beta3=b3alors(X−a)(X−b)divise(X3−a)(X3−b)si, et
seulement si,a3=aoua3=b. Quitte à échangeraetb, on peut supposera3=a
et on parvient alors aux polynômes(X−1)(X−j),(X−1)(X−j2),
(X+ 1)(X+j)et(X+ 1)(X+j2)selon quea= 1oua=−1(le casa= 0étant
à exclure car entraînantb=a).
Au final on obtient3 + 6 + 4 = 13polynômes solutions dont3 + 4 + 0 = 7réels.

3

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