Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Sommes géométriques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Sommes
géométriques
Exercice 1[ 02070 ][correction]
n
Calculer, pour toutθ∈R, la sommePeikθ.
k=0
Exercice 2[ 02071 ][correction]
Calculer, pour toutq∈C, la sommeP
k
n
q2k.
=0
Exercice 3[ 02072 ][correction]
n
Pourq∈C {1}etn∈N, on poseSn=Pkqk.
k=0
En calculantqSn−Sn, déterminer la valeur deSn.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Siθ6= 0 [2π]alorsnPeikθ=ei(ein+θ1−)θ1−1(somme géométrique de raison eiθ6=
k=0
n n
Siθ= 0 [2π]alorsPeikθ=P1 =n+ 1.
k=0k=0
Exercice 2 :[énoncé]
Siq26= 1alorsnPq2k=q2qn+2−21−1(somme géométrique de raisonq2)
k=0
n
Siq2= 1alorsPq2k=n+ 1.
k=0
Exercice 3 :[énoncé]
n n n+1n
qSn−Sn=Pkqk+1−Pkqk=P(k−1)qk−Pkqk=
k=0k=0k=1k=0
−(n+1)qn+1+q
nqn+1−nkP=1qk−0 =nqn+2q−1.
DoncSn=nqn+2−((qn−1)+12)qn+1+q.
Corrections
1)
2
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