Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Principe de récurrence
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Principe de récurrence
Exercice 1[ 02056 ][correction]
Soit(un)une suite réelle telle que
u0= 1et∀n∈N un+1=1 +n1+1un
Donner l’expression du terme généralunde cette suite.
Exercice 2[ 02057 ][correction]
Soit(un)la suite réelle déterminée par
Montrer
u0= 2 u1= 3et∀n∈N un+2= 3un+1−2un
∀n∈N un= 2n+ 1
Exercice 3[ 01274 ][correction]
a) Soitx∈Rtel quex+ 1x∈Z.
Montrer que pour toutn∈N,
xn+ 1∈Z
xn
b) Déterminer un réelxnon entier vérifiant la propriétéx+ 1x∈Z.
Exercice 4[ 02058 ][correction]
Montrer que
1 1 3n
∀n∈N {01} 21 +2+∙ ∙ ∙+n2>2n+ 1
Exercice 5[ 02059 ][correction]
Montrer que
∀n∈N?1!3! (2n+ 1)!>((n+ 1)!)n+1
Enoncés
1
Exercice 6[ 02060 ][correction]
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence surn∈N?, la propriété :
P(n)=npoints deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pourn= 1etn= 2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rangn>2.
Considérons alorsn+ 1points deux à deux distinctsA1 A2 An An+1.
(HR) Les pointsA1 A2 Ansont alignés sur une droiteD.
(HR) Les pointsA2 An An+1sont alignés sur une droiteD0.
OrDetD0contiennent les deux points distinctsA2etAn, doncD=D0.
Par suiteA1 A2 An An+1sont alignés sur la droiteD=D0.
Récurrence établie.
Où est l’erreur ?
Exercice 7[ 02061 ][correction]
On se propose d’établir
∀n∈N?,∃(p q)∈N2,n= 2p(2q+ 1)
en procédant de deux manières :
a) 1ère méthode : Pourn∈N?fixé, on poseA={m∈N2m|n}.
Montrer queAadmet un plus grand élémentpet que pour celui-ci on peut écrire
n= 2p(2q+ 1)avecq∈N.
b) 2ème méthode : Procéder par récurrence forte surn∈N?
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
u0= 1,u1= 2,u2= 3,...
Par récurrence, on montre aisément
∀n∈N un=n+ 1
Exercice 2 :[énoncé]
Par récurrence double.
Pourn= 0etn= 1: ok
Supposons la propriété établie aux rangsnetn+ 1(avecn>0).
un+2= 3un+1−2un= 32n+1+ 3−22n−2 = 2n+2+ 1
HR
Récurrence établie
Exercice 3 :[énoncé]
a) Par récurrence double.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(par hypothèse)
Supposons la propriété vraie aux rangsnetn+ 1.
On remarque que
xn+1+xn1+1 x+x1=xn+2+xn1+2+xn+x1n
on en déduit que
xn+2+xn1+2=
xn+1+xn1+1 1 xn+x1n∈Z
x+−
x
Corrections
Récurrence établie.
b) Il suffit de choisirxsolution de l’équationx2−px+ 1 = 0avecpun entier.
Pourp= 3,Δ = 5et
3 +√5
x=
2
convient
Exercice 4 :[énoncé]
Par récurrence surn>2.
Pourn= 2ok.
Supposons la propriété établie au rangn>2.
1 3
1 +∙ ∙ ∙+n12+(n+)112H>R2n3n(+1+n+ 1)2>?2(nn3+)1+
Vérifions l’inégalité proposée :
3n1n n2+ 2
2n(++1n+ 1)2−(32n=3+(2)1+n+ 1)(n+ 1)n2(2n+ 3)>0
Récurrence établie.
Exercice 5 :[énoncé]
Par récurrence surn>1.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.
1!3! (2n+ 1)!(2n+ 3)!>((n+ 1)!)n+1(2n+ 3)!>((n+ 2)!)n+2
HR?
Vérifions l’inégalité proposée :
((n+ 1)!)n+1(2n+ 3) 1
((n+ 2)!n+2=!(n(2!+)1n(n)2++)3!n+2((=nn()2)+(+2nn)2+3)+((2nn)3+2+)>
Récurrence établie.
Exercice 6 :[énoncé]
A l’avant dernière ligne, pour queA2etAnsoient distincts, il est nécessaire que
n>3.
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.
Exercice 7 :[énoncé]
a)Aest une partie deN, non vide carm= 0∈Aet majorée car
2m|n⇒2m6n⇒m6log2n
doncApossède un plus grand élémentp.
Puisquep∈A,2p|nce qui permet d’écriren= 2pk.
2
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Puisquep+ 1∈A,26 |ket donckest impair de la forme2q+ 1avecq∈N.
b) Pourn= 1:p=q= 0conviennent.
Supposons la propriété établie jusqu’au rangn>1.
Sin+ 1est impair alors l’écriture est directement obtenue avecp= 0et
n+ 1 = 2q+ 1.
Sin+ 1est pair alors on peut écriren+ 1 = 2kavec16k6n.
Par l’hypothèse de récurrence, on peut écrirek= 2p(2q+ 1)puis
n+ 1 = 2p+1(2q+ 1).
Récurrence établie.
Corrections
3
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