Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Nombres factoriels
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Nombres
factoriels
Exercice 1[ 02079 ][correction]
Exprimer2×4× ∙ ∙ ∙ ×(2n)puis1×3× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1)à l’aide de factoriels
Exercice 2[ 02080 ][correction]
Montrer de deux manières que pour toutn∈N?
n n
Y(4k−2) =Y(n+k)
k=1k=1
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
et
Corrections
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
n+1n
Y(n+ 1 +k) =Y(n+k)×(4n+ 2)
k=1k=1
Récurrence établie.
(2) Directe :
n n(2k−1) = 2n(1×3× ×(2n− (21)) =n)!
Y(4k−2) = 2nYn!
k=1k=1
nY(n+k) = (n+ 1)(n+ 2) (2n (2) =nn!)!
k=1
n+1n n
Y(4k−2) =Y(4k−2)×(4n+ 2)H=RY(n+k)×(4n+ 2)
k=1k=1k=1
n+1(n+ 2)(n+ 3) (2n+ 2)Yn(n+k)×(2n+ 1)(2n+ 2)
Y(n+ 1 +k) = =n
k=1k=1+ 1
et
donc
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
246× ∙ ∙ ∙ ×(2n) = 2n123× ∙ ∙ ∙ ×n= 2nn!et
135× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1) =12345246×6∙×∙∙×∙∙∙(×(2n)2n×)(2n+1)=2(2nn+n!1)!.
Exercice 2 :[énoncé]
(1) Par récurrence surn∈N?:
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.
