Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Coefficients binomiaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Coefficients binomiaux

Exercice 1[ 02081 ][correction]
Montrer que pour toutn∈Net toutp∈Z
ppn!=nnp−−11!

En déduire

pXn=0ppn!=n2n−1

Exercice 2[ 02082 ][correction]
Calculer pour toutn∈N?:
n
a)S0=k=Xn0k!b)S1=k=nX0kkn!

n
c)S2=Xk2
k=0

Exercice 3[ 02083 ][correction]
Pourn∈N?, calculer
E(n2)E((n−1)2)
A=X02kn!etB=X2nk+ 1
k=k=0

en formant un système dontAetBseraient solutions.

!

kn!

Exercice 4[ 02084 ][correction]
Soitn∈N. Calculer
n
p=X0pn!jp
En déduire
A=kE(n=X0)33nk! B=E((nkX−)10=3)3kn+ 1!etC=E((nk−X2)3)3kn+ 2
=0

!

Enoncés

Exercice 5[ 02085 ][correction]
Soientn p q∈Ntels quen6p+q.
En développant de deux manières(1 +x)p×(1 +x)q, établir
n
Xp+q
k=0pk! qn−k!=n!

Exercice 6[ 02086 ][correction]
Calculer, pour toutn p∈N, la somme
n
X
k=0p+kk!

Exercice 7[ 02087 ][correction]
Calculer pourn p∈N?, la somme

Exercice 8[ 02088 ][correction]
Développer(a+b+c)n.

p
Y
i=nX0j=1(i+j)

Exercice 9[ 02089 ][correction]
a) Soitn∈N. Calculer
n
X
k=0(−1)kkn!
b) Soientk ` n∈Ntels que`6k6n. Comparer
nk! `k!etn`! nk−−``!

c) Soit(xn)une suite de réels. On pose
∀k∈N yk=`Xk=0k`!x`

1

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Montrer que

n
∀n∈N xn=X(−1)n−kkn!yk
k=0

Exercice 10[ 02090 ][correction]
Montrer que pour toutn∈N?
nX(−1k)k+1nk!=k=nX11k
k=1

Exercice 11
Calculer

[ 02091 ][correction]
n
Sn=X(−1
k=0)k2nk+ 1!

Exercice 12[ 03682 ][correction]
Soitn∈Navecn>2.
a) On suppose quenest premier. Montrer

∀k∈ {2     n−1} ndivise

nk!

b) Inversement, on suppose quenest composé. Montrer
n
∃k∈ {2     n−1} nne divise pask!

Exercice 13[ 03688 ][correction]
Soientn∈N?.
a) Justifier
∀16k6nnk!=n−kk+ 1k−n1!
b) En déduire que pour tout entierkvérifiant16k6n2
nk−1!<nk!

Enoncés

et pour

tout entierkvérifiantn26k6n−1
k+n1!<

n!
k

c) Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d’tre obtenues ?

Exercice 14
Montrer

[ 03689 ][correction]
∀n∈N?2nn!

22n
>2n+ 1

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a
ppn!p!(nn!−p)! =n(p−1(n)!−(n1)−!p)! =npn−−11!
=p

et donc

n
p=nX0pnp!=npX=1np−−11!=n(1 + 1)n−1=n2n−1

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)S0= (1 + 1)n= 2n.
n
b)((1 +x)n)0=n(1 +x)n−1donnekP=1kkn!xk−1=n(1 +x)n−1donc
S1=n2n−1.
c)(x((1 +x)n)0)0= (nx(1 +x)n−1)0=n(1 +x)n−1+n(n−1)x(1 +x)n−2donne
nkn!xk−1=n(1 +x)n−1+n(n−1)x(1 +x)n−2donc
Pk2
k=1
S2=n2n−1+n(n−1)2n−2=n(n+ 1)2n−2.

Exercice 3 :[énoncé]
On a

et

donc

n
A+B=X0np!= (1 + 1)n= 2n
p=
n
A−B=X=0(−1)pnp!= (1−1)n= 0n= 0
p

A=B= 2n−1

Exercice 4 :[énoncé]
Par la formule du binôme
pXn=0pn!jp= (1 +j)n= 2nein3πcosnπ3

On a aussi

et par ce qui précède

n
A+B+C= (1 + 1) = 2

A+jB+j2C= 2nein3πcosnπ

3
puis aussi par conjugaison
−
A+j2B+jC= 2nein3πcosnπ
3
On en déduit
A=32n1 + 2 cosn3πcosn3π,B3=2n1 + 2 cos (n−)23πcosnπ
3
et

n
C3=21 + 2 cos (n32)+πcosn3π

Exercice 5 :[énoncé]
Le coefficient dexndans(1 +x)p×(1 +x)q= (1 +x)p+qestnp+q!.
Lorsqu’on développe le produit(1 +x)p×(1 +x)q, on obtient unxnen croisant
unxkde(1 +x)ppar unxn−kde(1 +x)q(pour06k6n). Le coefficient dexk
dans(1 +x)pestpk!et le coefficientxn−kdans(1 +x)qestqn−k!donc le
n
coefficient dexndans(1 +x)p×(1 +x)qestP0kp! n−kq!d’où l’égalité.
k=

Exercice 6 :[énoncé]
On a
kXn=0kp+k!=p0!+p11+!+p22+!+∙ ∙ ∙+np+n!
En regroupant les deux premiers termes par la formule du triangle de Pascal
pk+=Xk0kp+k!=p+11!+p22+!+∙ ∙ ∙+p+nn!
puis
n
X
k=0p+kk!=p+22!+∙ ∙ ∙+np+n!=p+nn+ 1!

3

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Exercice 7 :[énoncé]
=n0j=pYj)=i=Xn0(i+i!p!)=p!i=nX0i+pi!=p!
X(i+
i1

p+nn

Corrections

+ 1 (p+n+ 1)!
!(p+ 1)n!
=

Exercice 8 :[énoncé]
kn!
(a+b+c)n=kPn=0`=Pk0kn! `k!an−kbk−`c`etnk! `!=(n−k)!(k−`)!`!.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Par la formule du binôme
= 0
knX=0(−1)knk!= (1 + (−1))n=(01sinsinon

b) On a
nk! `k!=k!(nn!−k)!`!(kk−!`)! =`!(nn−!`)! (n−(nk)!−(k`)!−`)! =`n! kn−−``!

Exercice 10 :[énoncé]
Par récurrence surn>1sachant :
X=
n+1(−1k)k+1n+ 1!kn=+X11(−1k)k+1nk!+kn=+X11(−1k)k+1k−n1!
k=1k

Or
n+1(−1)k+1
Xk
k=1

donc

1 (1
k−n1!=nk+X11=(−n1)k+1nk+ 1!=−n−1)1+n+1=n11+
+ 1n+ 1

Exercice 11 :[énoncé]
Exploitons

On obtient

nk+=X11(−1k)k+1n+ 1!=kn=+X111
k k

2kn+ 1!=k2−n1!+2nk!

X−
c) On aSn=k=n0( 1)kk2−n1!+kXn=0(−1)k2kn!
nPar décalage d’ind
X(−1)n−kkn!yk=k=Xn0`Xk=0(−1)n−knk! `k!x`=`Xn=0xn`kX=`(−1)n−knk! `k!icSen=nX−1(−1)k+12n!+nX(−1)k2n!
k=0

Or
n
kXn=`(−1)n−knk! k`!= (−1)n−``n!kX(−1)k−`kn−−``!
=`
avec
knX(−1)k−`nk−−``!=(10isisn`on=n
=`
Par suite
n
X(−1)n−
k=0kkn!yk=xn

k=0kk=0k

Après simplification,

Sn= (−1)n2nn!

Exercice 12 :[énoncé]
a) On supposenpremier. On sait
kn!=nknk−−11!

4

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Corrections

donc
knk!=nkn−−11!
permet d’affirmer quendivise l’entiern!. Or
ce quinkkest premier et donc
premier aveckpuisquek < nPar le théorème de Gauss, on peut alors affirmer.
nk!.
quendivise
b) Supposons maintenantncomposé. On peut introduirepun facteur premier de
ntrer quenne divisnp!ce qui per
navecp < n par met. Nous allons alors mo e
de conclure.
n
=1np!s
Par l’absurde, supposons quemoit un entier. On peut écrire

(n−1)! =mp!(n−p)!

Puisquepdivisen, on peut aussi écriren=pqavecqentier et donc

(pq−1)! =mp! (p(q−1))!

Dans les produits définissant(pq−1)!et(p(q−1))!, on retrouve les mmes
multiples dep, à savoirp2p   (q−1)p. On peut donc écrire

(pq−1)! =kaet(p(q−1))! =kb

aveckregroupant le produit des multiples depprécédents etaetbnon divisibles
parp.
La relation initiale se simplifie alors pour donner

a=mp!b

ce qui entraîne queaest divisible parp. C’est absurde !

Exercice 13 :[énoncé]
a) On peut écrire

n! (n−k+ 1)n!
=
k!(n−k)!k(k−1)!(n−k+ 1)!

ce qui donne directement la relation soumise.

b) Si16k6n2alors2k < n+ 1et doncn−k+ 1> kpuis
kn!=n−kk+ 1k−n1!>k−n1!

La deuxième inégalité s’en déduit par la relation de symétrie
nk!=nn−k!

c) Pournla suite finie des coefficients binomiaux croît puis décroît en étantfixé,
extr