Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Représentations matricielles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Représentations matricielles

Exercice 1[ 00714 ][correction]
SoientA= (aij)16ij6n+1∈ Mn+1(R)avec
−1
aij=ij−1!=Cji−−11

etϕ∈ L(Rn[X])canoniquement représenté parA.
a) Exprimerϕ(P)pour toutP∈Rn[X].
b) CalculerAmpour toutm∈N.
c) CalculerA−1
.

Exercice 2[ 00715 ][correction]
Soienta∈C?etf:C→Cdéfinie parf(z) =z+az¯.
Former la matrice de l’endomorphismefduR-espace vectorielCdans la base
(1 i).
Déterminer image et noyau def.

Exercice 3[ 00717 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB= (e1 e2 e3).
Soitf∈ L(E)dont la matrice dans la baseBest
A=110010
−1 1 2

On poseε1=e1+e3,ε2=e1+e2etε3=e1+e2+e3.
a) Montrer que la familleB0= (ε1 ε2 ε3)forme une base deEet déterminer la
matrice defdansB0.
b) CalculerAn.

Exercice 4[ 00718 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB= (e1 e2 e3).
Soitf∈ L(E)dont la matrice dans la baseBest
A=−021211110

Enoncés

On poseε1=e1+e3,ε2=e1+e2etε3=e1+e2+e3.
a) Montrer queB0= (ε1 ε2 ε3)forme une base deEet déterminer la matrice de
0
fdansB.
b) CalculerAn.

Exercice 5Centrale MP[ 02380 ][correction]
Quels sont lesf∈ L(Rn)telles quef(Zn) =Zn?

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02679 ][correction]
Soientf g∈ L(R2)tel quef2=g2= 0etf◦g=g◦f. Calculerf◦g.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02688 ][correction]
Soitωune racine primitivenème de 1. On pose

n−1
1
=
Fω(P)√nkX0P(ωk)Xk
=

pour toutP∈Cn−1[X].
Montrer queFωest un automorphisme deCn−1[X]et exprimer son inverse.

1

Exercice 8Centrale MP[ 03060 ][correction]
Soientn petqtrois naturels non nuls et deux applications linéairesu∈ L(RpRq)
etv∈ L(RpRn).
a) Démontrer qu’il existe une application linéairew∈ L(RnRq)telle que
u=w◦vsi, et seulement si, on a l’inclusion des noyaux

ker(v)⊂ker(u)

Dans ce cas, déterminer toutes les applicationswqui conviennent.
b) Pour résoudre cette question, on utilisera un logiciel de calcul formel.
SoientAetBles matrices deM3(R)suivantes :
A=−41821−51etB=−512−102−−131
3−3

Existe-t-il une matriceC∈ M3(R)telle queA=CB?
Déterminer toutes les matricesCsolutions.

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c) Pour la matriceBdonnée dans la question précédente, caractériser par leurs
colonnes les matricesA∈ M3(R)pour lesquelles il existeC∈ M3(R)telle que
A=CB.
Déterminer dans ce cas l’ensemble des solutionsC.
d) Soient trois applications linéairesu∈ L(RpRq)etv1 v2∈ L(RpRn).
Démontrer qu’il existe deux applications linéairesw1 w2∈ L(RnRq)telles que
u=w1◦v1+w2◦v2si, et seulement si,

kerv1∩kerv2⊂keru

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Enoncés

Exercice 9CCP MP[ 03160 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finien>2.
a) Indiquer des endomorphismes deEdont la représentation matricielle est la
mme dans toutes les bases deE.
b) Soit(e1     en)une base deE. Montrer que pour touti∈ {2     n}, la
famille(e1+ei e2     en)est une base deE.
c) Déterminer tous les endomorphismes deEdont la représentation matricielle est
diagonale dans toutes les bases deE.
d) Quels sont les endomorphismes deEdont la représentation matricielle est la
mme dans toutes les bases deE?

Exercice 10CCP PSI[ 02596 ][correction]
Soitfun élément non nul deL(R3)vérifiant

f3+f= 0

Montrer queR3= kerf⊕Imfet que l’on peut trouver une base dans laquellefa
pour matrice
A=000−11000
0

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Pour06k6n,
ϕ(Xk) =i=Xn0ik!Xi=i=Xk0ik!Xi= (X+ 1)k

On en déduit
ϕ(P) =P(X+ 1)
b)ϕm(P) =P(X+m)donc
ϕ(Xk) = (X+m)k=nkX=0ik!mk−iXi
d’où
Am= (mj−iaij)16ij6n+1
c)ϕ−1(P) =P(X−1)donc

d’où

ϕ−1(Xk) = (X−1)k

A−1= ((−1)j−iaij)16ij6
n+1

Exercice 2 :[énoncé]
Posonsx=Re(a)ety=Im(a).
f(1) = 1 +x+iyetf(i) =i−ai=y+i(1−x).
La matrice defdans la base(1 i)est donc1 +xy1−xy.
Si|a| 6= 1alorsdetf6= 0. Imf=Cetkerf={0}.
Si|a|= 1alorsdetf= 0etf6= 0.fest un endomorphisme de rang 1.
On af(eiθ2) = 2eiθ2etf(ei(θ+π)2) = 0donc Imf=Vecteiθ2et
kerf=iImf.

Exercice 3 :[énoncé]
a) On vérifie aisément que la familleB0est libre et c’est donc une base deE.
f(ε1) =ε1 f(ε2) =ε2 f(ε3) =ε3+ε1donc
1 0 1=B
MatB0f=010100

Corrections

b) Par récurrence

puisAn=P BnP−1avec
11
P= 0

d’où

B=
n

1
0
0

0
1
0

n
01

101111etP−1=−111−011

An=1−−0nn1nnn0n+ 1

0
−1
1



Exercice 4 :[énoncé]
a) On vérifie aisément que la familleB0est libre et c’est donc une base deE.
f(ε1) =ε1 f(ε2) =ε1+ε2 f(ε3) =ε1+ε2+ε3donc
MatB0f=101110011=B

b)B=I3+Javec

J=011000001,J2=000001000

PuisqueI3etJcommutent la formule du binôme donne

Bn=I3+nJ+n(n−1)J2
2



carJk=O3pourk>3.
Par formule de changement de base, on obtient
1−n(n+1)n(n+3)n(n+1)
2 2 2
A=−n)1+21 +n(n2−1)
n−n n+ 1n
n(n−1)n(
2



3

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Soitfsolution. La matrice defà la base canonique est à coefficientsrelative
entiers. De plusfest un automorphisme car les vecteurs de la base canonique
sont des valeurs prises parfet commef−1(Zn) =Zn, la matrice def−1relative à
la base canonique est à coefficients entiers. Inversement, sifest un
automorphisme telle quefetf−1soient représentés par des matrices à
coefficients entiers dans la base canonique, il est immédiat quef(Zn)⊂Znet que
f−1(Zn)⊂Zndonc queZn⊂f(Zn)et finalementf(Zn) =Zn. Notons que les
endomorphismes solutions peuvent aussi se décrire comme étant les
endomorphismes canoniquement représentés par une matrice à coefficients entiers
et qui sont de déterminant égal à 1.

Exercice 6 :[énoncé]
Sif= 0alorsf◦g= 0.
Sinon il existe une base deR2dans laquelle la matrice defest
A=0100

La matrice degcommutant avecfest de la forme
a0ab

et puisqueg2= 0,a= 0.
Par suite la matrice def◦gest nulle.

Exercice 7 :[énoncé]
Fωest clairement un endomorphisme deCn−1[X]. Sa matrice dans la base
(1 X     Xn−1)estA= (aij)06ij6n−1avecaij=√1nωij. On remarque que
n−1
A¯A=Incarn1Pω(j−i)k=δij. Par suiteFωest un automorphisme etFω−
1
k=0
n−1
¯=√1nPk)Xk.
étant représenté parA,Fω−1(P)P(ω−
k=0

Exercice 8 :[énoncé]
a) S’il existewtel queu=w◦valors pour toutx∈kerv,
u(x) = (w◦v)(x) =w(v(x)) =w(0) = 0et doncx∈k