Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Généralités sur les matrices

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Généralités sur les matrices

Exercice 1[ 00702 ][correction]
Résoudre l’équationX2=Aoù
A=

1
0
0

0 1
4 2
0 16

Enoncés

Exercice 2[ 00703 ][correction]
a) Monter qu’une matriceA∈ Mn(K)est non inversible si, et seulement si, elle
est équivalente à une matrice nilpotente.
b) Soitf:Mn(K)→Kune application vérifiant :f(On) = 0,f(In) = 1et pour
toutA B∈ Mn(K),
f(AB) =f(A)f(B)

Montrer queA∈ Mn(K)est inversible si, et seulement si,f(A)6= 0.

Exercice 3[ 00707 ][correction]
∞
SoitS(x) =Panxnle développement en série entière dex7→√1 +x.
n=0
a) PourN∈N, on pose

N+∞
SN=XanxnetRN=Xanxn
n=0n=N+1

Montrer que(SN(x))2−1−xest un polynôme dont la plus petite puissance dex
est de degré>N+ 1.
b) SoitA∈ Mn(C)nilpotente. Justifier l’existence d’une matriceB∈ Mn(C)
telle que
B2I+A
=

Exercice 4[ 00712 ][correction]
SoitD=diag(a1     an)∈ Mn(K)et

ϕ:M∈ Mn(K)7→DM−M D

a) Déterminer noyau et image de l’endomorphismeϕ.
b) Préciser ces espaces quandDest à coefficients diagonaux distincts.

1

Exercice 5Centrale MP[ 02390 ][correction]
Soitnun entier>2etAun hyperplan deMn(C)stable pour le produit matriciel.
a) On suppose queIn∈ A. Montrer, siM2∈ A, queM∈ A. En déduire que pour
touti∈ {1     n}que la matriceEiiest dansA. En déduire une absurdité.
b) On prendn= 2. Montrer queAest isomorphe à l’algèbre des matrices
triangulaires supérieures.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02687 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)oùBest nilpotente et commute avecA. Montrer queAet
A+Bsont simultanément inversibles.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Une matriceXsolution commute avecA.
En étudiant l’équationAX=XAcoefficients par coefficients, on observe queX
est de la forme
00a0b0cyx
Pour une telle matrice, l’équationX2=Aéquivaut au système :
a2= 1
b2= 4

c2= 16
(a+c)x= 1
(b+c)y= 2
0
,10−2
Les solutions sont donc40010012153,−410012100330 0
−100−0140123,010002−−−4113etc. . .

151
4,

Exercice 2 :[énoncé]
a) SiAn’est pas inversible alors rgA < n. Or il est possible de construire une
matrice nilpotente de rang égal à rgA. Deux matrices étant équivalentes si, et
seulement si, elles ont le mme rang, on peut conclure queAest équivalente à une
matrice nilpotente. La réciproque est immédiate.
b) SiAest inversible alorsf(A)f(A−1) =f(In) = 1doncf(A)6= 0. SiAn’est pas
inversible alorsAest équivalente à une matrice nilpotenteB. Pour celle-ci, on a
f(B) = 0carf(Bn) =f(B)n. Puisqu’on peut écrireA=P BQavecPetQ
inversibles, on peut concluref(A) = 0.

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a

SN(x)2−1−x=SN(x)2−S(x)2=RN(x)(S(x) +SN(x))

2

C’est donc une série entière dont le premier terme non nul est au moins unxN+1.
D’autre part(SN(x))2−1−xest un polynôme.
b) PourNtel queAN= 0,(SN(A))2−I−A=OndoncB=SN(A)convient.

Exercice 4 :[énoncé]
a)DEij=aiEijetEijD=ajEijdoncϕ(Eij) = (ai−aj)Eij.
PosonsI=n(i j)∈[1 n]2ai6=ajoet
J=n(i j)∈[1 n]2ai=ajo=[1 n]2I.
Pour(i j)∈I,Eij∈Imϕet pour(i j)∈J,Eij∈kerϕ.
Ainsi Vect{Eij(i j)∈I} ⊂Imϕet Vect{Eij(i j)∈J} ⊂kerϕ.
Or
dimVect{Eij(i j)∈I}+ dimVect{Eij(i j)∈J}=n2= dimImϕ+ dim kerϕ
doncdimVect{Eij(i j)∈I}= dimImϕet
dimVect{Eij(i j)∈J} ker= dimϕ,
puis Vect{Eij(i j)∈I}=Imϕet Vect{Eij(i j)∈J}= kerϕ.
b) SiDest à coefficients diagonaux distincts alorsI=n(i j)∈[1 n]2i6=joet
J={(i i)i∈[1 n]}. Par suite Imϕest l’espace des matrices de diagonale nulle
tandis quekerϕest l’espace des matrices diagonales.

Exercice 5 :[énoncé]
a) SupposonsM2∈ A.Aet Vect(In)étant supplémentaires dansMn(C), on peut
écrireM=A+λInavecA∈ A. On a alorsM2=A2+ 2λAIn+λ2Ind’où l’on
tireλ2In∈ Apuisλ= 0ce qui donneM∈ A.
Pouri6=j,Ei2j= 0∈ AdoncEij∈ ApuisEii=Eij×Eji∈ A. Par suite
In=E11+∙ ∙ ∙+Enn∈ A. Absurde.
b) Formons une équation de l’hyperplanAde la formeax+by+cz+dt= 0en la
matrice inconnueM=ztxyavec(a b c d)6= (0000). Cette équation
peut se réécrire tr(AM) = 0avecA=cadb.
PuisqueI2∈ A, on a trA= 0. Soitλune valeur propre deA.
Siλ6= 0alors−λest aussi valeur propre deAet doncAest diagonalisable via
une matriceP.
On observe alors que les matricesMdeAsont celles telles queP−1M Pa ses
coefficients diagonaux égaux.
Mais alors pourM=P1110P−1etN=P1011P−1on aM N∈ A
alors queM N∈ A.

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Corrections

Siλ= 0alorsAest trigonalisable en00α0avecα6= 0via une matriceP.
On observe alors que les matricesMdeAsont celles telles queP−1M Pest
triangulaire supérieure. L’applicationM7→P−1M Pest un isomorphisme comme
voulu.

Exercice 6 :[énoncé]
SupposonsAinversible. PuisqueAetBcommutent,A−1etBaussi. CommeB
est nilpotente,−A−1Bl’est aussi. Or il est classique d’observer que siNest
nilpotente,I−Nest inversible d’inverseI+N+∙ ∙ ∙+Np−1avecpl’ordre de
nilpotence deN. AinsiI+A−1Best inversible etA+B=A(I+A−1B)aussi.
SupposonsA+Binversible, puisque−Best nilpotente et commute avecA+B,
A=A+B−Best inversible.

3

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