Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Calculs par blocs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calculs par blocs

Exercice 1[ 03264 ][correction]
SoientA∈ Mn(K)et
B=

On
In

OAn∈ M2n(K)

a) Montrer queAest inversible si, et seulement si,Bl’est.
b) CalculerBppour toutp∈N.

Exercice 2[ 01604 ][correction]
SoientA∈ Mn(K),B∈ Mp(K)etMla matrice
M=AnBOnp∈ Mn+p(K)
Op

Etablir

rgM=rgA+rgB

Exercice 3[ 01649 ][correction]
SoientB∈ Mnp(K)etC∈ Mp(K).
Montrer
I
rgOpnnBC=n+rgC

Exercice 4[ 02335 ][correction]
SoientA∈ Mn(K),B∈ Mp(K),C∈ Mnp(K)et
M=OpAnBC∈ Mn+p(K)

On supposeBinversible. Etablir

rgM=p⇔A=On

Exercice 5[ 03101 ][correction]
SoientA∈GLp(R),B∈ Mpq(R),C∈ Mq(R)et
M=AOqpCB∈ Mp+q(R)

Déterminer le rang deMen fonction de celui deC.

Enoncés

Exercice 6[ 00747 ][correction]
SoitM∈ Mn(K)une matrice de rangrdécomposée par blocs sous la forme
B
M=CDA

avecA∈ Mr(K)supposée inversible.
a) Montrer que pour toute colonneY∈ Mn−r1(K)il existe une colonne
X∈ Mr1(K)telle que
M0Yr!=M0nX−r!

b) En déduire queD=CA−1B.

Exercice 7[ 03137 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K)et
A
M=C

BD∈ M2n(K)

On suppose que les matricesA DetMsont inversibles.
ExprimerM−1
.

Exercice 8CCP PC
Soit

CalculerA

[ 03702 ][correction]
1−1

A=

npour toutn∈Z.

0 1
0 0
0 0

0
0
−1
0

00
1
−1

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SiAest inversible alors en posant
C=OA−n1OInn∈ M2n(K)

Corrections

on obtientBC=I2net on en déduit queBest inversible et queCest son
inversible en vertu du théorème d’inversibilité.
SiAn’est pas inversible alors les lignes deAsont liées et lesnpremières lignes de
Bla mme relation linéaire. On en déduit quesont aussi liées par Bn’est pas
inversible.
b) On obtient
B2p=AOpnAOpnetB2p+1=OApnAOpn+1

Exercice 2 :[énoncé]
Posonsr=rgAets=rgB. Les matricesAetBsont respectivement équivalentes
aux matrices
Jr=OnIr−rtOOnnr−−rretJs=OpI−sstOOspp−−ss

Il existe doncP Q∈GLn(K)etR S∈GLp(K)telles que

P AQ=JretRBS=Js

En opérant par blocs, on a alors
ROOP OAOB OSQO=

avec les facteurs

inversibles.
On en déduit

ORPOet

Q O
O S



rgM=rgOJrO=r+s
Js

Jr
O

O
Js

Exercice 3 :[énoncé]
En multipliant par la matrice inversible
IOnpn

−B
Ip

on obtient
rgOInpnCB=rgOIpnnCOnp
En posantr=rgC, on peut écrireP CQ=Jravec
P Q∈GLp(K)etJr=OpI−rrrOOprp−−rr

En multipliant à gauche et à droite par les matrices inversibles
OInpnPOnpetOInpnOnQp

on obtient

rgInnBC
Op

=rgIOnnpJOrnp=n+r

Exercice 4 :[énoncé]
L’implication(⇐)est immédiate car rgB=p
.
Inversement, supposons rgM=p.
PuisqueBest inversible, lespdernières lignes deMsont indépendantes et donc
les autres lignes deMsont combinaisons linéaires de celles-ci puisque rgM=p.
Puisque lesnpremières lignes deMsont combinaisons linéaires despdernières
lignes deM, on a
A=On

Exercice 5 :[énoncé]
Introduisons la matrice inversible
M0=A−1Opq
OqpIq

On a rgM=rg(M M0)avec



M M0=IOppqCB

2

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Corrections

Par opérations élémentaires sur les colonnes, la matriceM M0a le rang de la
matrice
IpOCpq
Oqp

Enfin, les opérations élémentaires déterminant le rang deCse transposent à la
matrice en cours afin d’en donner le rang. Au final

rgM=p+rgC

Exercice 6 :[énoncé]
a) Notons ImM={M ZZ∈ Mn1(K)}.
Considérons ensuiteϕl’application linéaire qui àX∈ Mr1(K)associe
M0nX−r!=XCXA!.
On a évidemment Imϕ⊂ImM.
Or l’application linéaireϕest injective carAest inversible et donc
rgϕ= dimMr1(K).
Puisque par hypothèse rgM=r, par inclusion et égalité des dimensions, on a
Imϕ=ImM.
Pour toutY∈ Mn−r1(K), on aM0Yr!∈ImMdonc il existeX∈ Mr1(K)(et
celui-ci est mme unique) tel queMY0r!=ϕ(X) =M0nX−r!.
b) La relationM0Yr!=M0nX−r!donneBYYD!=CXAX!donc
X=A−1BYpuisDY=CX=CA−1BY.
Puisque cette dernière relation vaut pour toute colonneY∈ Mn−r1(K), on peut
conclureD=CA−1B.

Exercice 7 :[énoncé]
On peut écrire la matriceM−1sous la forme
M−1=AC00BD00

La relationM M−1=I2ndonne alors le système
AA0+BC0=In
BAAC00++CDBD00==OOnn
CB0+DD0=In

qui entraîne
(A−BD−1C)A0=In
BC00==−−DA−−11DCAB00
(D−CA−1B)D0=In
On en déduit que les matricesA−BD−1CetD−CA−1Bsont nécessairement
inversible etA0etD0sont leurs inverses respectifs.
Au final
M−1=D−(1CA(−BDDB−1−C1C−)−A1)−1A−(1DB(−CCA−A1−B1B−)−D1)−1

Exercice 8 :[énoncé]
Par blocs, on a
A=

Par récurrence, on obtient

et on en déduit

M O2
O2−M

avecM=01−11

∀n∈N Mn=

n
01−1

0
∀ ∈N An=01−1n000
n0 0 (−1)n(−1)n+1n
0 0 ( 0−1)n

3

On vérifie que cette relation est encore valable pourn∈Zen constatant que cette
expression satisfait
An×A−n=I4

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