Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Calcul de déterminants

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul de déterminants

Exercice 1Mines-Ponts MP[ 02693 ][correction]
Calculer
a1+x(x)
.
.
.
(x)an+x

oùx a1     anréels.

Exercice 2[ 00742 ][correction]
Soientx1     xn∈C. Calculer



1x1x21∙ ∙ ∙
Vn( ) = 1x2x22∙ ∙ ∙
x1     xn
. . .
1xnx2n∙ ∙ ∙

Exercice 3[ 02384 ][correction]
Calculer poura1     an∈Kle déterminant suivant

xn1−1
xn2−1
.
xnn−1

1a1a2∙ ∙an−2n
1∙1a1
1an−2n
Dn=2a22∙ ∙ ∙a2a2
. . . . .
1anan2∙ ∙ ∙ann−2ann

Exercice 4Centrale MP[ 02385 ][correction]
Calculer
k−1

1a1∙ ∙ ∙
1a2∙ ∙ ∙
Dk=
. .
1an∙ ∙ ∙

1
a1a1k+
a2k−1a2k+1
. .
k−1akn+1
an

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

an
1
an
2
.
ann





Enoncés

Exercice 5Centrale MP[ 02386 ][correction]
n
Soitλ1     λn∈Cdistincts etP(X) =Q(X−λi). Calculer :
i=1

P(X)P(X)P(X)
∙ ∙ ∙
X−λ1X−λ2X−λn
1 1∙ ∙ ∙1
Δ(X) =
. . .
λ1n−2λ2n−2∙ ∙ ∙λnn−2

Exercice 6CCP MP[ 00748 ][correction]
Pour(i j)∈[1 n]2, on considèreai∈Retbj∈Rtels queai+bj6= 0.
Calculer
detai+1bj16ij6n[déterminant de Cauchy]

Traiter en particulier le cas où

∀i∈[1 n] ai=bi=i[déterminant de Hilbert]

Exercice 7[ 00749 ][correction]
i+j1−116ij6nst à coefficients ent
Etablir que l’inverse de la matriceH=e iers.

Exercice 8X MP[ 00299 ][correction]
On pose
Pn(X) =Xn−X+ 1(avecn>2)

a) Montrer quePnadmetnracines distinctesz1     zndansC.
b) Calculer le déterminant de
1 +z11∙ ∙ ∙1
.
1 1 +z2...
.1∙.∙..∙..1.+11zn

1

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Exercice 9[ 03806 ][correction]
[Déterminant de Hurwitz]
Soienta λ1     λn∈C. Calculer le déterminant de la matrice suivante
a+λ1(a)
H=.+λn
.
.
(a)a

Exercice 10[ 03124 ][correction]
Soienta1     an b1     bn∈C. Calculer le déterminant de la matrice de
coefficient
aij=baji+bisinsiion=j

Exercice 11[ 03578 ][correction]
Soient un natureln>2et(x1     xn)une famille denréels distincts de[0 π].
On pose
Pn=Y(cosxj−cosxi)
16i<j6n

et on considère la matriceMn∈ Mn(R)de coefficient général

mij ((= cosj−1)xi)

Enoncés

a) Montrer quemijest un polynôme encosxiet donner son coefficient dominant.
b) CalculerdetMnen fonction dePn.

Exercice 12CCP MP
Montrer

Dn=



1

2
.

n−1
n

[ 03366 ][correction]

n

1
.
.
.

n−1

n−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
  

  

.
.
.

1
2

2

3
.

n
1



= (−1)n+1(n2+)1nn−1

Exercice 13CCP MP[ 03577 ][correction]
Pour une famille denréels distincts(xk)de[0 π], on pose
Pn=Y(cosxi−cosxj)
16i<j6n

a) Combien le produit définissantPn ?comporte-t-il de facteurs
b) Pour(i j)∈[14]2écrire la matriceM∈ M4(R)de coefficient général

mij ((= cosj−1)xi)

c) Montrer quemijest un polynôme encosxi.
d) CalculerdetMen fonction deP4et montrer|detM|<24

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
En retirant la première colonne aux autres puis en développant selon cette
première colonne, on obtient que



a1+x(x)
...=αx+β
(x)an+x

avecα βréels qu’il ne reste plus qu’à calculer. . .

et

( )0
a1+x x
α=...ˆ +∙+a1ˆ
=a1a2   an∙ ∙   an−1an
(x)an+xx=0

a1+x
β=
(x)

(x)
...=a1   an
an+xx=0

Exercice 2 :[énoncé]
On réalise les opérations élémentairesCn←Cn−x1Cn−1,
Cn−1←Cn−1−x1Cn−2,. . . ,C2←C2−x1C1:

1 0 0∙ ∙ ∙0
1x2−x1x2(x2−x1)∙ ∙2−x1
Vn(x1     xn) =∙xn2−2(x)
. . . .
1xn−x1xn(xn−x1)∙ ∙ ∙xnn−2(xn−x1)

On développe selon la première ligne et on factorise par ligne :

On réitère

n
Vn(x1     xn) =Y(xj−x1)Vn−1(x2     xn)
j=2



n n n
Vn(x1     xn) =Y(xj−x1)Y(xj−x2)  Y(xj−xn−1)V1(xn)
j=2j=3j=n

Corrections

avecV1(xn) = 1.
Ainsi

Vn(x1     xn) =Y(xj−xi)
16i<j6n

Exercice 3 :[énoncé]
Considérons le polynôme

3

P(X) = (X−a1)(X−a2)  (X−an)
Celui-ci se développe sous la forme
P(X) =Xn+αn−1Xn−1+∙ ∙ ∙+α0
avecα0     αn−1∈Ket en particulierαn−1=−(a1+∙ ∙ ∙+an).
n−2
En procédant à l’opérationCn←Cn+PαkCk+1, les coefficients de la dernière
k=0
colonne de la matrice sont transformés en

n−2
ain+Xαkaki=P(ai)−αn−1ani−1=−αn−1ani−1carP(ai) = 0
k=0

Ainsi
−2
1a1a21∙ ∙ ∙a1nan11a1a21∙ ∙ ∙an1−2a1n−1
1a2a22∙ ∙ ∙a2n−2a2n1a2a22∙ ∙ ∙a2n−2an2−1
=−αn−1
. . . . . . . . . .
1anan2∙ ∙ ∙ann−2ann 1anan2∙ ∙ ∙ann−2ann−1

Sachant calculer un déterminant de Vandermonde, on obtient

Exercice 4 :[énoncé]
Considérons le polynôme

n
Dn=XaiY(aj−ai)
i=1 16i<j6n

P(X) = (X−a1)(X−a2)  (X−an)

Celui-ci se développe sous la forme

P(X) =Xn+αn−1Xn−1+∙ ∙ ∙+α0

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Corrections

avecα0     αn−1∈Ket en particulierαk= (−1)n−kσn−koù lesσ1     σn
désignent les expressions symétriques élémentaires ena1     an.
k−1n−1
En procédant à l’opérationCn←Cn+PαjCj+1+PαjCj, les coefficients de
j=0j=n
la dernière colonne de la matrice sont transformés en
k
P(ai)−αkai=−αkaikcarP(ai) = 0
Ainsi

1a1∙ ∙ ∙ak1−1ak1+1∙ ∙ ∙an1−1ak1
Dk 1)= (n+1−kσn−k1a2∙ ∙ ∙ak2−1a2k+1∙ ∙ ∙an2−1ak2
−
. . . . . .
1an∙ ∙ ∙ank−1ank+1∙ ∙ ∙an