Sujet : Algèbre linéaire, Puissances d'une matrice
1
page
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
1
page
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Licence :
Langue
Français
Publié par
Licence :
Langue
Français
Puissances d’une matrice
Soitun entier naturel supérieur ou égal à 2.ℝest rapporté à sa base canonique=(1,2,…,) .
Soit(ℝ) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordreà coefficients réels.
Soitla matrice carrée identité d’ordre,=diag(1,1,…,1) .
Soitla matrice carrée d’ordrenulle.
Soitla matrice carrée d’ordreconstituée uniquement de « 1 »,=(,)1≤,≤avec,=1 .
Partie I
Soitle sous-espace vectoriel de(ℝ) engendré paret.
1. Montrer que espace vectoriel de dimension deux surest un.
2. Pourentier naturel non nul donné, calculer.
3. Montrer queest stable pour la multiplication.
4. Soit=α.+β.un élément de.
4.a Calculeren fonction deα,β,,et,désignant un entier naturel non nul.
4.b Calculer det.
4.c A quelle(s) condition(s) portant surαetβ,est-elle inversible ?
Calculer alors l’inverse−1en fonction deα,β,et.
Partie II
Soitl’endomorphisme deℝdont la matrice dans la base canonique deℝest.
Soitl’identité deℝ. Soit0=1et1=−1.
1.a Montrer que0et1sont des projecteurs.
1.b Comparer ker0, Im0avec ker1, Im1.
Donner la dimension de ces espaces
1.c Soit′une base adaptée à la décomposition=Im0⊕ker0.
Former les matrices représentatives de0et1dans cette base′.
2. Soit0la matrice de0dans la base canoniquedeℝ,1la matrice de1dans cette même base.
Montrer que (0,1) est une base de=Vect(,) .
3. Soit=α.+βun élément de,βétant non nul.
3.a Donner les composantesλetdedans la base (0,1) .
3.b Calculeren fonction deλ,,,0et1.
Retrouver l’expression du I.4.a.
