Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes de Bernstein
2
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
2
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Publié par
Licence :
Langue
Français
Publié par
Licence :
Langue
Français
Polynômes de Bernstein
Soitun entier naturel. On note 1,l’ensemble des entiers allant de 1 à.
On appelle polynômes de Bernstein de degréles polynômes réels:
,=(1−)−avec∈ {0,1,…,}
Dans tout le problème, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée.
1.
2.a
2.b
3.
Partie I : Polynômes de Bernstein
Représenter sur un même graphique les fonctions֏3,() pour=0,1, 2,3 et∈0,1 .
Calculer∑,. En déduire que pour tout∈0,1 , 0≤,()≤1.
=0
Calculer∑,,∑(−1),puis∑2,.
=0=0=0
Exprimer′,en fonction de−1,−1et−1,pour≥1 .
4. Etablir que la famille (,)0≤≤est une base deℝ.
5. Pour∈ℝ, on pose()=∑ .
,
=0
5.a Montrer queest un endomorphisme deℝ.
5.b Déterminer le noyau de. Qu’en déduit-on ?
Partie II : Théorème de Weierstrass
Soit: 0,1→ℝcontinue. Pour tout∈ℕ, on posela fonction définie par :()=∑=0,() .
1. Calculer() lorsque()=1 ,()=et()=2.
Vérifier qu’à chaque fois()→+∞→() pour tout∈0,1 .
2. On se propose de généraliser le résultat ci-dessus au cas général: 0,1→ℝcontinue.
2.a
2.b
2.c
3.a
3.b
2
Calculer∑− () .
=,
0
Soit∈0,1 etε> La fonction0 .étant continue en:
∃α>0 ,∀∈0,1 :−≤α⇒()−()≤ε2 .
On pose=∈0,/−<αet=∈0,/−≥α.
Montrer que∈∑,()≤(1α−2)≤41α2.
En déduire que()−()≤2ε+2α2avec=s[0u,1p].
Conclure que( vers) converge() quand→ +∞
Etablir que′()=∑−=1+1−−1,() .
0
En déduire que si , 0,1est croissante sur alors pour tout∈ℕ,est croissante sur 0,1 .
Partie III : Courbes de Bézier
Les courbes de Bézier sont couramment utilisées en DAO, car elles permettent de construire des courbes
régulières satisfaisant des contraintes géométriques simples.
plan muni d’un repère orthon mé
On suppose le or (;,) .
L’utilisateur se donne une famille de+1 points distincts ()0≤≤.
La courbe de Bézier définit par ces points est la courbe de point courant() (∈0,1 ) déterminé par :
1.
2.
3.
3.a
3.b
() est le barycentre des points0,1,…,affectés des masses,0(),,1(),…,,() .
Exprimer le vecteur( fonction des) enest des,() .
2
Dans le cas=3 , on considère les points00, 0101, 2 t1 e130 .
Représenter la courbe de Bézier correspondante.
On revient au cas général.
Préciser les points(0) et(1) .
On suppose1≠0. Montrer que la tangente en par(0) passe1.
De même, lorsque−1≠, on observe que la tangente en(1) passe par−1.
Ainsi, lors de la construction d’une courbe de Bézier, l’utilisateur détermine les extrémités et y précise les
tangentes.
