Sujet : Algèbre linéaire, Matrice circulante d'ordre 3
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Matrice circulante d’ordre 3
3(ℝ le) désigneℝ-espace vectoriel et l’anneau des matrices carrées réelles d’ordre 3.
On considèrel’ensemble des matrices de la forme(,,)= avec,,∈ℝ.
1 0 0 0 1 0
On note=(1, 0, 0)=0 1 0 et=(0,1, 0)= .0 0 1
0 0 11 0 0
1
2.a
2.b
2.c
3.
3.a
3.b
3.c
Partie I
Calculer2et3. Justifier queest inversible et déterminer−1.
Montrer queest un sous-espace vectoriel de3(ℝ) et en donner une base et la dimension.
′ ′ ′
Soit,,∈ℝet,,∈ℝ. Calculer le produit(,,)(′,′,′) .
En déduire queest un sous anneau commutatif de3(ℝ) .
Soit,,∈ℝet=(,,) .
Calculer det. A quelle conditionest elle inversible ?
On suppose cette condition remplie et on pose=(,,) avec (,,)∈ℝ3.
Observer que=ssi (,,d’un système de Cramer que l’on précisera. solution ) est
Résoudre ce dernier via les formules de Cramer.
Partie II
Soitun espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée directe=(,,) .
Pour (,,)∈ℝ3, on note,,l’endomorphisme dont la matrice représentative dansest(,,) .
Lorsque=0,=1,= note on0 ,=,,.
1.a Justifier queet en préciser l’axe et l’angle.est une rotation vectorielle
1.b Décrire2.
2. Soit=(12−) ,=1(6+−2) et=3(1++) .
2.a Justifier que=′(,, une base orthonormée directe de) est.
2.b Former la matrice représentative deet de2dans′.
2.c On note(,,)=Mat′(,,) .
Exprimer(,,) .
=1
3.a Montrer que,,est une rotation vectorielle ssi++++=0 .
3.b Pour∈ℝ, on pose()=3−2+.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur∈ℝ, pour que le polynômeadmette trois racines réelles
(éventuellement confondue).
3.c Montrer que,,est une rotation vectorielle ssi,etsont les trois racines deave
c∈ 27 .0, 4
