Sujet : Algèbre linéaire, Itérés d'un endomorphisme
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Itérés d’un endomorphisme
Dans ce problèmedésigne unℝ- espace vectoriel de dimension finie∈ℕ∗.
On note( des endomorphismes de) l’ensembleetl’endomorphisme identité de.
On considèreun endomorphisme devérifiant la relation2=2(1+) .
1. Pour quelsα∈ℝ, peut-on avoir=α.?
2. On revient au cas général.
2.a Prouver que l’endomorphismeest inversible et exprimer son inverse−1en fonction deet de.
2.b Justifier que ker(−) et ker(+12.) sont des sous-espaces vectoriels de.
2.c Montrer que=ker(−)⊕ker(+12.) .
2.d Calculer (+12)(−) .
En déduire que ker(+21.)=Im(−) .
2.e De même, justifier que ker(−)=Im(+12) .
3. On supposedésormaisque les endomorphismesetsont linéairement indépendants.
3.a Exprimer3et4comme combinaison linéaire deet.
3.b Etablir que, pour tout entier naturel, il existe un couple (,) de réels et un seul tel que
=.+..
Déterminer0,0,1,1et exprimer+1et+1en fonction deetpour∈ℕ.
3.c Former une relation entre+2,+1et.
En déduire les expressions deeten fonction depour∈ℕ.
Vérifier qu=e
el→i+m∞ t32l→i+m∞=13 .
3.d
4.
4.a
4.b
On convient d’appeler limite de=.+.l’endomorphisme=32.+.31.
Im() et parallèlement à−) .
Justifier que ker(est la projection vectorielle sur−
On forme={λ.+.| (λ,)∈ℝ2}.
Montrer queest une sous-algèbre commutative de() .
En déterminer une base et la dimension.
