Sujet : Algèbre linéaire, Inversion d'une matrice
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Inversion d’une matrice
L’objectif de ce problème est l’obtention d’une méthode permettant d’inverser certaines matrices symétriques
réelles.
Préliminaire
Soit∈(ℝ matrice diagonale à coefficients diagonaux deux à deux distincts.) une
Montrer que si une matrice∈(ℝ avec) commutealorsest diagonale.
Partie I
Soit∈(ℝ matrice symétrique réelle inversible.) une
On suppose qu’il existe une matrice∈(ℝ une matrice diagonale) et∈(ℝ coefficients diagonaux) à
distincts telles que=.
1. Etablir=.
2 En exploitant le préliminaire, établir queune matrice diagonale que l’on noteraest .
3. On note,le coefficient d’indice (,) deetδleèmecoefficient diagonal de.
3.a Exprimerδà l’aide d’un symbole sommatoire et des,.
3.b On suppose désormais qu’aucune colonne den’est nulle.
Justifier que,etsont inversibles.
4.a Exprimer l’inverse deen fonction de,,−1et−1.
4.b On noteλleèmecoefficient diagonal de la matrice.
On note,et, (les coefficients d’indice,) des matriceset−1.
Etablir,=∑,,.
=1λδ
On co
1.
1.a
1.b
1.c
2.
2.a
Partie II
2−1 0⋯ ⋯0
−1 2−1 0⋮
nsidère ici la matrice symétrique :=⋮0⋱⋱⋮⋱⋱⋱⋱⋱⋱0 .
⋮0−1 2−1
0⋯ ⋯0−1 2
On pose=det.
Former une relation de récurrence engageant,−1et−2.
Donner l’expression depour tout∈ℕ∗.
La matriceest-elle inversible ?
Soitun entier tel que 1≤≤.
Justifier, pour tout 1≤≤, la relation :
sin(−1+)π+sin(+1+)π=2 cos+πsin+π.
1 1 1 1
2.b
2.c
3.
3.a
3.b
3.c
4.
iπ
s n+1
π
On note :=sin+π11≤≤=sin⋮2+1∈,1(ℝ) .
iπ
s n+1
Observer qu’il existe un réelλtel que=λet exprimer ce dernier.
On notela matrice de(ℝ les colonnes sont) dont1,2,…,.
Observer qu’il existe une matrice diagonaletelle que
a)=
b) les coefficients diagonaux desont deux à deux distincts.
On peut désormais reprendre les notations de la partie I
Expliciter,.
Icidésigne un réel de l’intervalle 0,π.
Justifier la relation :∑=cos 2=snsiincos(+1).
1
En déduire une expression en fonction deetde la somme :()=∑sin2.
=1
Observer que la valeur deδne dépend pas deet donner celle-ci.
En déduire le coefficient de la ligneet de la colonne de l’inverse de.
