Sujet : Algèbre linéaire, Déterminant de Gram
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Déterminant de Gram
Soitunℝ (.-espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté | .)
1.
2.
2.a
2.b
2.c
2.d
Partie I
Soitetdeux vecteurs quelconques de.
( | ) ( | )
On notre(,)=(|) (|)et(,)=det((,)) .
Montrer que(,)≥0 . A quelle condition y a-t-il égalité ?
Soit,ettrois vecteurs quelconques de.
(|) (|) (|)
On note(,,)=(|) (|) (|) et(,,)=det((,,)) .
(|) (|) (|)
On suppose queest orthogonal àet.
Exprimer(,,) en fonction de(,) .
On suppose queest combinaison linéaire deet.
Calculer(,,) .
On suppose que=+aveccombinaison linéaire deet, etorthogonal àet.
Montrer que(,,)=(,)2.
Etablir l’équivalence : (,,) est libre⇔ (,,)≠0 .
Partie II
Soit1,…, vecteurs de.
On note :(1,…,) la matrice carrée d’ordre (dont le coefficient d’indice,) est (|) et
(1,…, déterminant de celle-ci.) le
1. On suppose la famille (1,…, Montrer que) liée.(1,…,)=0 .
2. On suppose la famille (1,…, On introduit () libre.1,…,) une base orthonormée de l’espace
vectoriel engendré par1,…,et on note=(,) la matrice de passage de la base (1,…,) à la
base (1,…,) .
2.a Exprimer (| l’aide des coefficients de la matrice) à.
2.b Montrer que(1,…,)=. En déduire que(1,…,)>0 .
3. Soitun sous-espace vectoriel dede dimensionet (1,…, base de) une.
On appelle distance devecteur deau sous-espace vectorielle réel : =nf−
( , ) i∈.
3.a
3.b
1.
En écrivant=+avec∈et∈⊥, démontrer que(,)=
Etablir :(,)=((1,1,……,,). )
,
Partie III
Pour tout polynômeetdeℝon poseϕ(,)=
Montrer queϕdéfinit un produit scalaire surℝ.
1
()()d.
0
.
2.a
2.b
2.c
Désormais, on munitℝ (de ce produit scalaire et on note| lieu de) auϕ(,) le produit
scalaire de deux élémentsetdeℝ.
On désire calculeri,n∈fℝ01(2( ))2
=−+d.
Interpréterà l’aide de la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel deà préciser.
1
Calculer les déterminants 11
2
Donner la valeur de.
1 1 1
1 1 2 3
2 1 1 1
1 et .
2 3 4
3 1 1 1
3 4 5
Partie IV
Soitun entier naturel non nul et1,…,,1,…,des réels tels que pour tout∈ {1,…,},
pour tout≠∈ {1,…,},≠.
Le but de cette partie est de calculer le déterminant de la matrice :
11 1
⋯
1+11+21+
1 1⋯1
1+1≤,≤=2⋮+12⋮+2⋱2⋮+∈(ℝ) .
1 1 1
⋯
+1+2+
Ce déterminant sera noté(1,…,,1,…,) .
1.
2.
3.
Soit ( )=((+−11))⋯⋯((+−−)1. )
Réaliser la décomposition en éléments simples de.
On notele déterminant d’ordre:
1+⋯+1(1)
111−1
=1+⋯+1(2 ).
22 1−1
⋮ ⋮
1+⋯+1()
1 −1
En calculantde deux façons, établir :
−1
∏(+)
()−1(1,…,−1,1,…,−1)=−=11(,1…,,,1…,)
∏(−)
=1
∏(−)∏(−)
En déduire :(1,…,,1,…,)=1≤ < ≤∏(1≤+<≤ .)
1≤,≤
.
>0 ,≥0 et
4.a
4.b
4.c
1 1 1 1
⋯
1 2 3
1 1 1 1
⋯
2 3 4+1
Calculer=1 1 1⋯1∈(ℝ) .
3 4 5+2
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
1 1 1 1
⋯
+1+2 2−1
On pourra se contenter d’une expression comportant un ou plusieurs∏(…) .
En déduire la valeur de=1(−−−+⋯+ +)2.
(0,…i,n−f1)∈ℝ0( 01 1 1
On exprimera le résultat à l’aire de nombres factoriels.
Quelle est la limite de () ?
