Sujet : Algèbre linéaire, Calculs à l'intérieur d'une sous algèbre matricielle
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Calculs à l’intérieur d’une sous algèbre matricielle
3ℝ+×désigne laℝalgèbre des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels.
Pour tout tripletde nombres réels, on notela matrice + .
On considère l’ensemble={ ∈ℝ3}.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On pose=0 1 0 ,=1 0 1 et=0 1 0 .
0 0 10 1 01 0 0
1.
2.a
2.b
2.c
2.d
3.
3.a
3.b
3.c
Partie I
Montrer queest un sous-espace vectoriel de3ℝ.
Préciser une base deet sa dimension.
Exprimer22età l’aide de,et.
Soit∈ℝ3,′′′∈ℝ3,=et=′′′′.
Calculer le produit′
.
Montrer queest une sous-algèbre de3ℝ.
Est-elle commutative ?
+×est-il un corps ?
Cette question est consacrée à la recherche des éléments inversibles de l’algèbre.
On fixe∈ℝ3et on pose=.
Calculer le déterminant de la matriceet factoriser le résultat.
On reprend les notations de la question 2.b.
Calculer, lorsque c’est possible, les réels′′′à l’aide depour que=′.
Quels sont les éléments inversibles de?
Partie II
Dans cette partie,est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et123est une base orthonormée
directe de.
2+2+2=1
1.a Montrer queest une matrice orthogonale ssi2+2=0 .
+=0
1.b En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à.
Préciser, parmi ces matrices celles dont le déterminant est positif.
2. On notel’endomorphisme dede matricedans la base123.
Reconnaître, et préciser ses caractéristiques géométriques.
3.
11 2
−
2 2 2
Soit et 22 0l’ mo
=2 2 endo de matrice rphismedans123.
1 2 1
−
22 2
Reconnaître, et préciser ses éléments géométriques.
Dans c
1.
2.
3.
Partie III
ette partie, on pose=12et=120. On se propose de calculer les puissances de, puis
celles de.
Calculer23, puis(pour∈ℕ∗) en distinguant les caspair etimpair.
Exprimerà l’aide deet deet montrer que :∀∈ℕ∗=++2
avec=1≤∑≤2et=≤∑≤2.
1
Calculer 1++, puis 1−+.
En déduireeten fonction de.
