Sujet : Algèbre générale, Résolution d'une équation diophantienne
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Résolution d’une équation diophantienne
L’objectif de ce problème est la résolution de l’équation2−22= ±1 .
On admettra l’irrationalité de 2 .
On introduit l’ensembleℤ2=+
1.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
2 /(,)∈ℤ2.
Partie I
Montrer queℤ2muni de l’addition et de la multiplication des réels est un anneau.
Etablir∀∈ℤ2,∃!(,)∈ℤ2tel que=+2 .
On pose alors=−2 appelé conjugué de.
Montrer que l’application de conjugaison֏est un automorphisme de l’anneauℤ
Pour∈ℤ2, on pose()=.
Justifier que∀∈ℤ2,()∈ℤ, et
∀,∈′ℤ2,(′)=()(′) .
Montrer que∈ℤ2est inversible ssi()∈ {1,−1}.
On forme=∈ℤ2/()= ±1 .
Justifier par un argument rapide queest un groupe pour la multiplication des réels.
Partie II
2.
On se propose dans cette partie de décrire l’ensemble, ce qui correspond à la résolution de l’équation
initialement proposée.
1.
1.a
1.b
1.c
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
Soit=+2∈. Montrer :
≥0 et≥0⇒≥1 .
≤0 et≤0⇒≤ −1 .
≤0⇒≤1 .
On note+{∈/>1}.
=
Montrer que si=+2∈+alors>0 et>0 .
En déduire que=1+ le plus petit élément de2 est+.
Soit∈+.
Montrer qu’il existe un entier natureltel que≤<+1.
En déduire que=.
Conclure que={±/∈}.
