Sujet : Algèbre générale, Répartition des puissances d'un complexe de module 1
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Répartition des puissances d’un complexe de module 1
On notel’ensemble des nombres complexes de module 1.
On notel’ensemble des racinesèmede l’unité (pour∈ℕ∗).
On note(,′)=′−la distance entre deux complexeset′.
Pour∈ℂ∗, on note :
· arg( du complexe) l’argument 2 défini àπprès.
· rg() l’unique argument de 2 0,qui appartient àπ(appelé argument principal de).
On se donneθ∈0, 2π, et on considère l’ensemble= {/∈ℤ}avec=eθ.
L’objectif de ce problème est l’étude de cet ensemble.
1. Soitα,β∈ℝ. Déterminer(eα, eβ) .
era la solution sans radicaux etβ−α
On exprim en fonction de 2 .
2.
2.a
2.b
2.c
On supposeθ π∈ℚet on forme={∈ℕ∗/=1}.
Montrer quepossède un plus petit élément. Notonscelui-ci.
à deux distincts. x
Etablir que les0,...,−1sont deu
Montrer que=.
Dans toute la suite du problème, on supposeθ π∉ℚ.
3.
4.
4.a
4.b
Montrer que lessont deux à deux distincts.
Soit∈etε>0 .
On désire établir l’existence d’un∈ℤtel que(,)≤ε.
ℕ 2de sorπ≤ε.
te que
On se donne∈\{0,1}
On introd r to∈…−=∈ π≤ <+1)π.
uit, pou ut{0,1, , 1},/ 2rg( ) 2 (
Etablir que la famille ()0≤≤−1forme une partition de.
Montrer que parmi les0,…,moins se trouvent dans un mêmedeux éléments au .
=
On noteetleurs indices respectifs et on poseϕ=rg() etψrg() .
Quitte à échangereton peut supposerϕ<ψet on a par constructionψ−ϕ∈]0,2π] .
4.c
4.d
4.e
Etablirrg(−)=ψ−ϕ.
On noteα=rg() et on considèrele plus grand entier tel que(ψ−ϕ
Montrer que(,( )) 2sinψ−2ϕ
−≤.
Etablir∀
≥0,sin()≤, et conclure.
)≤α.
