Sujet : Algèbre générale, Loi de groupe sur une hyperbole

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Coniques. Strucures algébriques.

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Loi de groupe sur une hyperbole

Le plan usuelPest muni d’un repère orthonorméR=(;,) . On noteHl’hyperbole d’équation cartésienne2−32=1 . 1.(Etude deH) 1.a Préciser les coordonnées des sommetset′de l’hyperboleH (désignant le sommet d’abscisse positive et′l’autre). 1.b Déterminer l’excentricitéde l’hyperboleH. 2.(Une loi de composition interne sur le plan) On munit le planPd’une loi de composition interne notée⊻qui aux pointset′de coordonnées (,) et (′,′) associe le point=⊻′de coordonnées (α,β) définies par :βα==′+′+3′′. 2.a Montrer que la loi⊻est associative, commutative et qu’elle possède un élément neutre qu’on précisera.

2.b

2.c

3. 3.a

3.b

4. 4.a

4.b

4.c

On considère l’applicationdePversℝqui au point (de coordonnées,) associe ()=2−32. Quel est l’ensemble des pointsdu plan tels que()=0 ?()=1 ?. Soitet′deux points du plan. Etablir que(⊻′)=()(′) . En déduire que siet′appartiennent àH, il en est de même de⊻′.

(Structure de groupe surH) Montrer que la loi⊻munit l’ensembleHd’une structure de groupe commutatif et que le symétrique d’un pointdeHpour la loi⊻est le symétrique de (par rapport à l’axe) .

On noteH+l’ensemble formé des points deHd’abscisse strictement positive etH−=H\H+. H+est-il un sous groupe deH? Même question pourH−. (Construction du composé de deux points deH) Soitet′deux points distincts deH, non symétriques par rapport à () et=⊻′. Montrer que la droite (′) est ( parallèle à la droite) . Soitun point deHet=⊻. Montrer que la droite () est parallèle à la tangente enàH. En déduire un procédé géométrique de construction du composé par⊻de deux points deH.

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