Sujet : Algèbre générale, Dérivation dans un anneau
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Dérivation dans un anneau
Les parties I et II sont totalement indépendantes.
Soit (,+,× anneau (qui n’est pas a priori supposé commutatif)) un
On note 0 et 1 les éléments neutres additif et multiplicatif de.
Une applicationδ:→est appelée dérivation sursi et seulement si, pour tout,∈on a les relations :
(1)δ(+)=δ()+δ()
(2)δ()=δ()+δ()
Partie I Crochet de Lie et exemple de dérivation
Pour,∈, on pose,=−.
1.
2.
2.a
2.b
2.c
3.
Que vaut,lorsqueetcommutent ?
On revient au cas général et on se donne,,dans.
Former une relation liant,et,.
Etablir que,+=,+,.
Justifier,,+,,+,,=0 .
Cette dernière relation est connue sous le non d’identité de Jacobi.
Pour∈, on considère:→l’application définie par()=−.
Montrer queest une dérivation sur.
Partie II Propriétés des dérivations
Soitδune dérivation quelconque sur.
1. En exploitant les relations (1) et (2) calculerδ(0) etδ(1) .
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
1.
1.a
1.b
Soit (un élément de l’anneau,+,×) .
Exprimerδ(− fonction de) enδ() .
On suppose queest inversible.
Exprimerδ(−1 fonction de) enδ( de) et−1.
On se donne∈ℕ∗.
Soit1,2,…,une liste d’éléments de.
Exprimerδ(12... fonction des) enet desδ() .
Soit∈. Exprimerδ() .
Que devient cette formule sietδ() commutent ?
Soitδ= {∈/δ()=0}.
Montrer queδ (est un sous-anneau de,+,×) .
Montrer que, si (,+,× un corps, alors) estδest un sous-corps de (,+,×) .
Partie III Manipulation de dérivations
Dans cette questionδ1,δ2désignent deux dérivations sur.
Pensez-vous que l’applicationδ1+δ2est une dérivation ?
Pensez-vous que l’applicationδ1δ2est une dérivation ?
1.c
2.
2.a
2.b
On noteδ1,δ2=δ1
Montrer queδ1,δ2
δ2−δ2δ1
est une dérivation sur.
Soitδune dérivation suret,deux éléments de.
Montrer queδ,
Montrer que,
=δ().
=[,].
