Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Rang d'une application linéaire
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Rang
d’une application
linéaire
Exercice 1[ 01660 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf g∈ L(E).
Montrer que
rg(f+g)6rg(f) +rg(g)
puis que
|rg(f)−rg(g)|6rg(f−g)
Exercice 2[ 01661 ][correction]
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension finies et
f∈ L(E F) g∈ L(F E)telles quef◦g◦f=fetg◦f◦g=g.
Montrer quef g f◦getg◦font mme rang.
Exercice 3[ 03421 ][correction]
SoientE F G HdesK-espaces vectoriels de dimensions finies etf∈ L(E F),
g∈ L(F G),h∈ L(G H)des applications linéaires. Montrer
rg(g◦f) +rg(h◦g)6rgg+rg(h◦g◦f)
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
On a Im(f+g)⊂Imf+Imgdonc
Corrections
rg(f+g)6dim(Imf+Img) = dimImf+ dimImg−dimImf∩Img6rg(f) +rg(g)
Aussi
donc
rg(f) =rg(f−g+g)6rg(f−g) +rg(g)
rg(f)−rg(g)6rg(f−g)
On conclut par symétrie sachant rg(f−g) =rg(g−f).
Exercice 2 :[énoncé]
Le rang d’une application linéaire composée est inférieur aux rangs des
applications linéaires qui la compose.
D’une part rg(f◦g)rg(g◦f)6rg(f)rg(g)
D’autre part rg(f) =rg(f◦g◦f)6rg(g◦f)rg(f◦g)rg(g)et
rg(g) =rg(g◦f◦g)6rg(f)
Ces comparaisons permettent de conclure.
Exercice 3 :[énoncé]
Pourϕ ψapplications linéaires composables
Ainsi
et
Puisque
on a
rg(ψ◦ϕ) = dimImψImϕ=rgϕ−dim (Imϕ∩kerψ)
rg(h◦g◦f) =rg(g◦f)−dim (Im(g◦f)∩kerh)
rg(h◦g) =rgg−dim (Img∩kerh)
Im(g◦f)⊂Img
dim (Im(g◦f)∩kerh)6dim (Img∩kerh)
ce qui fournit l’inégalité demandée.
2
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