Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Forme linéaire en dimension finie
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Forme linéaire en dimension finie
Exercice 1[ 01675 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N?etϕune forme linéaire non
nulle surE.
Montrer que pour toutu~∈Ekerϕ,kerϕet Vect(u~)sont supplémentaires dans
E.
Enoncés
Exercice 2[ 01676 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet(f1 f2 fn)une famille de
formes linéaires surE. On suppose qu’il existe un vecteurx~∈Enon nul tel que
pour touti∈ {1 n},fi(~x) = 0. Montrer que la famille(f1 f2 fn)est liée
dansE?.
Exercice 3[ 01678 ][correction]
DansR3, on considère le sous-espace vectoriel
H=(x y z)∈R3|x−
2y+ 3z= 0
Soient~u= (121)etv~= (−111). Montrer queB= (v~u~)forme une base deH.
Exercice 4[ 01679 ][correction]
Soitfun endomorphisme deR3tel quef2= 0.
Montrer qu’il existea∈R3etϕ∈(R3)?tels que pour toutx∈R3on a
f(x) =ϕ(x)a.
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
kerϕest un hyperplan deEet Vectu~une droite car~u6=~opuisqueu~∈kerϕ.
kerϕ+Vect(u~)est un sous-espace vectoriel deEcontenantkerϕ, donc de
dimensionn−1oun.
Sidim kerϕ+Vect(~u) =n−1alors par inclusion et égalité des dimensions :
kerϕ+Vect(~u) = kerϕ.
Or~u∈kerϕ+Vect(u~)et~u∈kerϕ. Ce cas est donc exclu.
Il restedim kerϕ+Vect(~u) =ni.e.kerϕ+Vect(u~) =E.
Comme de plusdim kerϕ+ dimVect(u~) =n−1 + 1 =n= dimE, on peut
affirmer quekerϕet Vect(u~)sont supplémentaires dansE.
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
Soitϕune forme linéaire ne s’annulant pas sur~x. Celle-ci n’est pas combinaison
linéaire des(f1 fn). Cette famille n’est donc pas génératrice et par suite elle
est liée car formée den= dimE?éléments deE?.
Exercice 3 :[énoncé]
u~~v∈Hcar ces vecteurs vérifient l’équation définissantH.
(~vu~)est libre etdimH= 2carHest un hyperplan deR3.
On secoue, hop, hop, le résultat tombe.
Exercice 4 :[énoncé]
Sif= 0la propriété est immédiate. Sinonf2= 0donne Imf⊂kerfet en vertu
du théorème du rang,dimImf= 1. Soitaun vecteur directeur de la droite Imf.
Pour toutx∈R3, il existe un uniqueα∈Rtel quef(x) =αa. Posonsϕ(x) =α
ce qui définitϕ:E→R.f(λx+µy) =ϕ(λx+µy)aet
f(λx+µy) =λf(x) +µf(y) = (λϕ(x) +µϕ(y))aaveca6= 0donne la linéarité de
ϕ.
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