Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Famille libre
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Famille libre
Exercice 1[ 01627 ][correction]
Les familles suivantes de vecteurs deR3 ?sont-elles libres
Si ce n’est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs :
a)(~x1~x2)avecx~1= (101)etx~2= (122)
b)(x1~x2~x3)avec~x1= (100),x~2= (110)et~x3= (111)
~
c)(~x1~x2~x3)avecx~1= (121),x~2= (21−1)etx~3= (1−1−2)
d)(~x1~ ~)ve~= (1−11),x~2= (2−13)et~x3= (−11−1).
x2 x3a cx1
Exercice 2[ 01628 ][correction]
On posef1 f2 f3 f4: [02π]→Rles fonctions définies par :
f1(x) = cosx,f2(x) =xcosx,f3(x) = sinxetf4(x) =xsinx.
Montrer que la famille(f1 f2 f3 f4)est libre.
Exercice 3[ 01629 ][correction]
Pour tout entier06k6n, on posefk:R→Rla fonction définie par
fk(x) =ekx
.
Montrer que la famille(fk)06k6nest une famille libre deF(RR).
Exercice 4[ 01630 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel et~x~z~ytrois vecteurs deEtels que la famille
(~~yz~x)soit libre.
On pose
u~=y~+z~,~ ~+~xet~w=~x+~
v=z y
Montrer que la famille (w~v~u~) est libre.
Enoncés
Exercice 5[ 01631 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel et(u1 un un+1)une famille de vecteurs deE.
Etablir :
a) Si(u1 un)est libre etun+1∈Vect(u1 un)alors(u1 un un+1)est
libre
b) Si(u1 un un+1)est génératrice etun+1∈Vect(u1 un)alors(u1 un)
est génératrice.
Exercice 6[ 01632 ][correction]
Soit(x~1x~n)une famille libre de vecteurs deEetα1 αn∈K.
On pose
~
~u=α1~x1+∙ ∙ ∙+αn~xnet∀16i6n yi=~xi+~u
A quelle condition sur lesαi, la famille(~y1y~n)est-elle libre ?
Exercice 7[ 01633 ][correction]
Soit(~e1~ep)une famille libre de vecteurs deE.
Montrer que pour tout~a∈EVect(e~1~ep), la famille(~e1+a~e~p+~a)est
libre.
Exercice 8X MP[ 02464 ][correction]
Soit(a b c)∈R3. Les fonctionsx7→sin(x+a) x7→sin(x+b)etx7→sin(x+c)
sont-elles linéairement indépendantes ?
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) oui b) oui c) nonx~3=x~2−x~1d) non~x3=−x~1.
Exercice 2 :[énoncé]
Supposonsaf1+bf2+cf3+df4= 0.
On a∀x∈[0 π],(a+bx) cosx+ (c+dx) sinx= 0.
Pourx= 0etx=πon obtient le système :(aa+=b0π= 0d’oùa=b= 0.
Pourx=π2etx=32πon obtient le système(c+dπ2 = 0
d’oùc=d= 0.
c+ 3dπ2 = 0
Finalement la famille étudiée est libre.
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
Supposonsλ0f0+∙ ∙ ∙+λnfn= 0.
On a∀x∈R,λ0+λ1ex+∙ ∙ ∙+λnenx= 0.
Quandx→ −∞, en passant la relation ci-dessus à la limite, on obtientλ0= 0.
On a alors∀x∈R,λ1ex+∙ ∙ ∙+λnenx= 0doncλ1+λ2ex+∙ ∙ ∙+λne(n−1)x= 0.
En reprenant la démarche ci-dessus, on obtientλ1= 0, puis de mme
λ2= =λn= 0.
Exercice 4 :[énoncé]
Supposonsαu~+βv~+γw~=~0. On a
(β+γ)x+ (α+γ)y~+ (β+α)~z=~0
~
Or la famille(~~zxy~)est libre donc
β+γ= 0
α+γ= 0
α+β= 0
Après résolutionα=β=γ= 0.
Finalement, la famille étudiée est libre.
2
Exercice 5 :[énoncé]
a) Supposonsλ1u1+∙ ∙ ∙+λnun+λn+1un+1= 0E.
Siλn+16= 0alorsun+1=µ1u1+∙ ∙ ∙+µnunavecµi=−λiλn+1. Ceci est exclu
carun+1∈Vect(u1 un).
Il resteλn+1= 0et on a alorsλ1u1+∙ ∙ ∙+λnun= 0Edoncλ1= =λn= 0car
(u1 un)est libre.
b) Soitx∈E. On peut écrirex=λ1u1+∙ ∙ ∙+λnun+λn+1un+1car
(u1 un un+1)génératrice.
Or on peut écrireun+1=µ1u1+∙ ∙ ∙+µnuncarun+1∈Vect(u1 un), on a
doncx=ν1u1+∙ ∙ ∙+νnunavecνi=λi+λn+1µi. Ainsix∈Vect(u1 un).
Finalement(u1 un)est génératrice.
Exercice 6 :[énoncé]
~
Supposonsλ1~y1+∙ ∙ ∙+λny~n= 0. On a
(λ1+α1(λ1+∙ ∙ ∙+λn))x~1+∙ ∙ ∙+ (λn+αn(λ1+∙ ∙ ∙+λn))x~n=~0donc
(λ1+α1(λ1+∙ ∙ ∙+λn)) = 0
.
(λn+αn(λ1+∙ ∙ ∙+λn)) = 0
En sommant les équations on obtient :
(λ1+∙ ∙ ∙+λn)(1 + (α1+∙ ∙ ∙+αn)) = 0
Siα1+∙ ∙ ∙+αn6=−1alorsλ1+∙ ∙ ∙+λn= 0puis par le système
λ1=∙ ∙ ∙=λn= 0.
Siα1+∙ ∙ ∙+αn=−1alorsα1y~1+∙ ∙ ∙+αn~yn=o~.
Finalement(y~1~)est libre si, et seulement si,α1+∙ ∙ ∙+αn6=−1.
yn
Exercice 7 :[énoncé]
Supposonsλ1(~e1+~a) +∙ ∙ ∙+λp(~ep+~a) =~o. On a
λ1~e1+∙ ∙ ∙+λpe~p=−(λ1+∙ ∙ ∙+λp)~a.
Siλ1+∙ ∙ ∙+λp6= 0alors~a=−λ1e~λ11++∙∙∙∙∙∙++λλppe~p∈Vect(e~1e~p). C’est exclu.
Siλ1+∙ ∙ ∙+λp= 0alorsλ1e~1+∙ ∙ ∙+λpe~p=o~puisλ1= =λp= 0.
Exercice 8 :[énoncé]
Non car ces trois fonctions sont combinaisons linéaires des deux suivantes
x7→sinxetx7→cosx
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