Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Applications linéaires

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Applications linéaires

Exercice 1[ 01703 ][correction]
Les applications entreR-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :
a)f:R3→Rdéfinie parf(x y z) =x+y+ 2z
b)f:R2→Rdéfinie parf(x y) =x+y+ 1
c)f:R2→Rdéfinie parf(x y) =xy
d)f:R3→Rdéfinie parf(x y z) =x−z?

Exercice 2[ 01704 ][correction]
Soitf:R2→R2définie parf(x y) = (x+y x−y).
Montrer quefest un automorphisme deR2et déterminer son automorphisme
réciproque.

Exercice 3[ 01705 ][correction]
SoitJ:C([01]R)→Rdéfinie parJ(f) =R01f(t)dt.
Montrer queJest une forme linéaire.

Exercice 4[ 01706 ][correction]
Soitϕ:C∞(RR)→ C∞(RR)définie parϕ(f) =f00−3f0+ 2f.
Montrer queϕun endomorphisme et préciser son noyau.est

Exercice 5[ 01707 ][correction]
Soientaun élément d’un ensembleXnon vide etEunK-espace vectoriel.
a) Montrer queEa:F(X E)→Edéfinie parEa(f) =f(a)est une application
linéaire.
b) Déterminer l’image et le noyau de l’applicationEa.

Exercice 6[ 01708 ][correction]
SoitEleR-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables surR.
Soientϕ:E→Eetψ:E→Eles applications définies par :
ϕ(f) =f0etψ(f)est donnée par :
∀x∈R ψ(Z0x
f)(x) =f(t)dt
a) Montrer queϕetψsont des endomorphismes deE.
b) Exprimerϕ◦ψetψ◦ϕ.
c) Déterminer images et noyaux deϕetψ.

Enoncés

Exercice 7[ 01709 ][correction]
Soitfune application linéaire d’unK-espace vectorielEvers unK-espace
vectorielF.
Montrer que pour toute partieAdeE, on af(VectA) =Vectf(A).

1

Exercice 8[ 01710 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etfun endomorphisme deEnilpotent i.e. tel qu’il
existen∈N?pour lequelfn= 0. Montrer que Id−fest inversible et exprimer
son inverse en fonction def.

Exercice 9[ 01711 ][correction]
SoientE FdeuxK-espaces vectoriels,f∈ L(E F)etA Bdeux sous-espaces
vectoriels deE. Montrer

f(A)⊂f(B)⇔A+ kerf⊂B+ kerf

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) oui b) non c) non d) oui

Exercice 2 :[énoncé]
Soientλ µ∈Ret~u= (x y)v~= (x0 y0)∈R2

f(uλ~+vµ~) =f(λx+µx0 λy+µy0)

donne
f(λ~u+µ~v) = ((λx+µx0) + (λy+µy0)(λx+µx0)−(λy+µy0))
donc

f(uλ~+vµ~) =λ(x+y x−y) +µ(x0+y0 x0−y0) =λf(~u) +µf(~v)

De plusf:R2→R2doncfest un endomorphisme deR2.
Pour tout(x y)∈R2et tout(x0 y0)∈R2
x0x= (x0+y0)2
(y0==xx+−yy⇔(y= (x0−y0)2

Par suite, chaque(x0 y0)∈R2possède un unique antécédent parf:

((x0+y0)2(x0y0)2)
−

fest donc bijective.
Finalementfest un automorphisme deR2et
f−1: (x0 y0)7→((x0+y0)2(x0−y0)2).

Exercice 3 :[énoncé]
Soientλ µ∈Retf g∈ C([01]R),
J(λf+µg) =Z01λf(t) +µg(t)dt
et par linéarité de l’intégrale

J(λf+µg) =λZ10f(t)dt+µZ01g(t)dt=λJ(f) +µJ(g)
De plusJ:C([01]R)→RdoncJest une forme linéaire surC([01]R).

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
Soientλ µ∈Retf g∈ C∞(RR),

puis

ϕ(λf+µg) = (λf+µg)00−3(λf+µg)0+ 2(λf+µg)

ϕ(λf+µg) =λ(f00−3f0+ 2f) +µ(g00−3g0+ 2g)

donc
ϕ(λf+µg) =λϕ(f) +µϕ(g)
De plusϕ:C∞(RR)→ C∞(RR)doncϕest un endomorphismeC∞(RR).

f∈kerϕ⇔f00−3f0+ 2f= 0

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants
d’équation caractéristiquer2−3r+ 2 = 0de racines1et2. La solution générale
est
f(x) =C1ex+C2e2x
Par suite
kerϕ=Cex+Ce2xC  C∈R

1 2 1 2

Exercice 5 :[énoncé]
a)∀λ µ∈K,∀f g∈ F(X E),
Ea(λf+µg) = (λf+µg)(a) =λf(a) +µg(a) =λEa(f) +µEa(g).
Par suiteEaest une application linéaire.
b)f∈kerEa⇔f(a) = 0.kerEa={f∈ F(X E)f(a) = 0}.
ImEa⊂Eet∀x~∈E, en considérantf:X→Ela fonction constante égale à~x,
on aEa(f) =x~. Par suitex~∈ImEaet doncE⊂ImEa. Par double inclusion
ImEa=E.

Exercice 6 :[énoncé]
a)∀λ µ∈R,∀f g∈E,

ϕ(λf+µg) = (λf+µg)0=λf0+µg0=λϕ(f) +µϕ(g)

2

et
∀x∈R,ψ(λf+µg)(x) =Z0xλf(t) +µg(t)dt=λZ0xf(t)dt+µZ0xg(t)dt= (λψ(f)+µψ(g)
doncψ(λf+µg) =λψ(f) +µψ(g).

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

De plusϕ:E→Eetψ:E→Edoncϕetψsont des endomorphismes deE.
b) On a
∀f∈E,(ϕ◦ψ) = (ψ(f))0=f

carψ(f)est la primitive defqui s’annule en 0. Ainsi

ϕ◦ψ=IdE

Aussi
∀f∈E,∀x∈R,(ψ◦ϕ)(f)(x) =Z0xf0(t)dt=f(x)−f(0)
c)ϕ◦ψest bijective doncϕest surjective etψinjective.
ϕest surjective donc Imϕ=E.kerϕest formé des fonctions constantes.
ψest injective donckerψ=0˜. Imψest l’espace des fonctions deEqui
s’annulent en 0.

Exercice 7 :[énoncé]
f(VectA)est un sous-espace vectoriel deFetA⊂VectAdoncf(A)⊂f(VectA).
Par suite Vectf(A)⊂f(VectA).
Inversement,f−1(Vectf(A))est un sous-espace vectoriel deEqui contientAdonc
A⊂f−1(Vectf(A))puisf(A)⊂f(f−1(Vectf(A)))⊂Vectf(A).
Par double inclusion l’égalité.

Exercice 8 :[énoncé]
Id=Id−fn= (Id−f)(Id+f+∙ ∙ ∙+fn−1)et aussi
Id= (Id+f+∙ ∙ ∙+fn−1)(Id−f).
Par suite Id−fest inversible et(Id−f)−1=Id+f+∙ ∙ ∙+fn−1.

Exercice 9 :[énoncé]
(⇒)Supposonsf(A)⊂f(B).
Soitx~∈A+ kerf. On peut écrirex~=u~+~vavec~u∈Aet~v∈kerf.
f(~x) =f(u~)∈f(A)⊂f(B)donc il existe~w∈Btel quef(~x) =f(~w).
On a alorsx~=w~+ (~x−~w)avecw~∈Betx~−w~∈kerf. Ainsix~∈B+ kerf.
(⇐)SupposonsA+ kerf⊂B+ kerf.
Soit~y∈f(A). Il existe~x∈Atel quey~=f(x~). Orx~∈A⊂A+ kerf⊂B+ kerf
donc on peut écrirex~=~u+~vavec~u∈Betv~∈kerf. On a alors
~y=f(x~) =f(~u)∈f(B).

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD