Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Distance à un sous-espace vectoriel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Distance à un sous-espace vectoriel

Enoncés

Exercice 1[ 00526 ][correction]
[Déterminant de Gram]
SoitEun espace préhilbertien réel. Pour(u1     up)famille de vecteurs deE, on
noteG(u1     up)la matrice deMp(R)dont le coefficient d’indice(i j)est
(ui|uj).
a) Montrer que si la famille(u1     up)est liée alors

detG(u1     up) = 0

b) Etablir la réciproque.
c) Montrer que si(e1     ep)est une base d’un sous-espace vectorielF
pour toutx∈E,
d(x F) =sddeettGG(e(1e1epep)x)

deEalors

Exercice 2[ 00527 ][correction]
a) Montrer que(P|Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2)définit un produit
scalaire surR2[X].
b) Calculerd(X2 P)oùP=aX+b(a b)∈R2

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02734 ][correction]
Calculer le minimum deR01(t3−at2−bt−c)2dtpoura b cparcourantR.

Exercice 4[ 00529 ][correction]
On définit une applicationϕ:R[X]×R[X]→Rpar
ϕ(P Q) =Z0+∞P(t)Q(t)e−tdt

a) Montrer queϕdéfinit un produit scalaire surR[X].
b) Calculerϕ(Xp Xq).
c) Déterminer
+
(ab)∈R2Z0∞e−t(t2−(at+b))2dt
inf

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02736 ][correction]
On munitMn(R)du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,
dont on notek kla norme associée. SoitJla matrice deMn(R)dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
SiM∈ Mn(R), calculer(aib)n∈fR2kM−aIn−bJk.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02735 ][correction]
Calculer
infZ10t2(lnt−at−b)2dt(a b)∈R2

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 01332 ][correction]
Soientn∈N?,E=Rn[X]et
+∞
hi: (P Q)∈E27Qi=Z0(t)e−tdt
→ hP P(t)Q

a) Justifier la définition dehiet montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
On poseF={P∈E P(0) = 0}. On cherche à déterminerd(1 F). On note
(P0     Pn)l’orthonormalisée de Schmidt de(1 X     Xn).
b) CalculerPk(0)2.
c) Déterminer une base deF⊥que l’on exprimera dans la base(P0     Pn). En
déduired(1 F⊥)etd(1 F).

Exercice 8Mines-Ponts PC[ 03764 ][correction]
SoitA= (aij)16ij6n∈ Mn(R). Calculer
M∈iSnnf(R)16iXj6n(aij−mij)2

1

Exercice 9CCP MP[ 02571 ][correction]
a) Montrer que(f|g) =R10f(t)g(t) dtdéfinit un produit scalaire sur l’ensembleE
des fonctions continues surRengendré parf1(x) = 1,f2(x) = exetf3(x) =x
.
b) Pour quels réelaetbla distance def2(x)àg(x) =ax+best-elle minimale ?

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Exercice 10CCP MP[ 03117 ][correction]
a) Montrer que(A|B) =tr(AtB)définit un produit scalaire surMn(R).
b) Montrer queSn(R)etAn(R)sont supplémentaires et orthogonaux.
Exprimer la distance de
2 3

M=

1
0
1

1
2

2
3

∈ M3(R)

àS3(R).
c) Montrer que l’ensembleHdes matrices de trace nulle est un sous-espace
vectoriel deMn(R)et donner sa dimension.
Donner la distance àHde la matriceJdont tous les coefficients valent 1.

Exercice 11CCP MP[ 00073 ][correction]
On munitE=C([−11]R)du produit scalaire :
( 1Z1(x) dx
f|g) = 2f(x)g
−1

Enoncés

Pouri∈ {0123}, on notePi(x) =xi.
a) Montrer que la famille(P0 P1 P2)est libre mais pas orthogonale.
b) Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée(Q0 Q1 Q2)de
F=Vect(P0 P1 P2)à partir de la famille(P0 P1 P2).
c) Calculer la projection orthogonale deP3surFet la distance deP3àF.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Si la famille(u1     up)est liée alors il existe(λ1     λp)6= (0    0)tel que
p n
Pλiui= 0Eet on observe alorsPλiLi= 0en notantL1     Lnles lignes de la
i=1i=1
matriceG(u1     up).
On conclutdetG(u1     up) = 0.
b) SidetG(u1     up) = 0alors il existe(λ1     λp)6= (0    0)tel que
n n
PλiLi= 0et on obtient alors que le vecteurPλiuiest orthogonal à toutuj,
i=1i=1
c’est donc un vecteur commun à Vect(u1     up)et à son orthogonal, c’est le
vecteur nul.
On conclut que la famille(u1     up)est liée.
c)x=u+navecu∈Fetn∈F⊥. En développantdetG(e1     ep x)selon la
dernière colonne :

detG(e1     ep u+n) = detG(e1     ep u) +G(e1     ep) 0
?knk2

ordetG(e1     ep u) = 0car la famille est liée et donc

avecknk=d(x F).

detG(e1     ep x) =knk2detG(e1     ep)

Exercice 2 :[énoncé]
a) Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré62possédant trois
racines est nécessairement nul.
b)d(X2 P) =X2−πavecπ=aX+bprojeté orthogonal deX2surP.
(X2−π|1) = (X2−π|X) = 0donne le système
(35aa3++3bb9==5

Après résolution

et après calcul

(ab=2=−13

d=p23

Exercice 3 :[énoncé]
En introduisant surR[X]le produit scalaire :
P|Q) =Z1
(P(t)Q(t)dt
0

La quantité cherchée est

2
m=d(X3R2[X])2=X3−p(X3)
avecpla projection orthogonale surR2[X].
p(X3) =a+bX+cX2avec(p(X3)|Xi) = (X3|Xi)pouri= 012.
La résolution du système ainsi obtenu donne

On en déduit

a= 120,b=−35etc= 32

X1
=
m=3−p(X3)2= (X3−p(X3)|X30082)

Exercice 4 :[énoncé]
a) symétrie, bilinéarité et positivité : ok
Siϕ(P P) = 0alorsR+0∞P2(t)e−tdt= 0donc (fonction continue positive
d’intégrale nulle)
∀t∈R+,P(t) = 0
Comme le polynômePadmet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
b) Par intégration par parties successives,R+0∞tne−tdt=n!donc
ϕ(Xp Xq) = (p+q)!

c) On interprète
(aib)n∈fZ+∞+b))2dt=d(X2R1[X])2=X2−π2
e−t(t2−(at
R20
avecπ=aX+ble projeté orthogonal deX2surR1[X]
(X2−π|1) = (X2−π|X) = 0donne
(2aa++bb2=6=

Après résolutiona= 4,b=−2et
(ab)∈R2Z+0∞e−t(t2−(at+b))2dt= 4
inf

3

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Exercice 7 :[énoncé]
a) PourP Q∈E, la fonctiont7→P(t)Q(t)e−test définie et continue par
morceaux sur[0+∞[et vérifie

t2P(t)Q(t)e−t−t−→−+−∞→0

∀t∈[0+∞[ P(t)2e−t= 0

On peut donc affirmer que cette fonction est intégrable sur[0+∞[ce qui assure
la bonne définition dehi.
On vérifie aisément quehiest une forme bilinéaire symétrique positive.
SihP Pi= 0nullité de l’intégrale d’une fonction continue positivealors par

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