Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Les ensembles finis
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Les
ensembles
finis
Exercice 1[ 01526 ][correction]
SoientEun ensemble fini,Fun ensemble quelconque etf:E→F
application.
Montrer
une
fest injective si, et seulement si, Card(f(E)) =Card(E)
Enoncés
Exercice 2[ 01527 ][correction]
SoientA,BetCtrois parties d’un ensemble finieE. Exprimer Card(A∪B∪C)
en fonctions des cardinaux deA B C A∩B B∩C C∩AetA∩B∩C.
Exercice 3[ 01528 ][correction]
SoientAetBdeux parties deEetF.
Etant donnée une applicationf:E→F, est-il vrai que :
a) SiAest une partie finie deEalorsf(A)est une partie finie deF.
b) Sif(A)est une partie finie deFalorsAest une partie finie deE.
c) SiBest une partie finie deFalorsf−1(B)est une partie finie deE.
d) Sif−1(B)est une partie finie deEalorsBest une partie finie deF?
Exercice 4X MP[ 03044 ][correction]
SoitEun ensemble. Montrer queEest infini si, et seulement si, pour toute
fonctionf:E→E, il existeA⊂EavecA6=∅etA6=Etelle quef(A)⊂A.
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Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
SiE=∅alorsf(E) =∅et l’égalité proposée est vraie.
Sinon, on peut écrireE={x1 xn}avec desxideux à deux distincts et
n=CardE.
f(E) ={f(x1) f(xn)}, orfest injective, lesf(xi)sont deux à deux distincts
donc Card(f(E)) =n.
Exercice 2 :[énoncé]
Card(A∪B∪C) =CardA+CardB∪C−Card(A∩B)∪(A∩C)donc
Card(A∪B∪C) =
CardA+CardB+CardC−CardB∩C−CardA∩B−CardC∩A+CardA∩B∩C
Exercice 3 :[énoncé]
a) oui, car siA={x1 xn}alorsf(A) ={f(x1) f(xn)}est fini.
b) non, il suffit de considérer une fonction constante définie sur un ensemble infini.
c) non, il suffit de considérer une fonction constante définie sur un ensemble infini.
d) non, il suffit de considérer une partieBformée par une infinité de valeurs non
prises parf.
Exercice 4 :[énoncé]
SiEvide, il n’existe pas de partieest l’ensemble Aincluse dansEvérifiantA6=∅
etA6=E.
SiEest un ensemble à un élément, idem.
SiEest un ensemble fini contenant au moins deux éléments, on peut indexer les
éléments deEpour écrireE={x1 x2 xn}avecn=CardE>2. Considérons
alors l’applicationf:E→Edéfinie parf(x1) =x2,f(x2) =x3,. . . ,f(xn−1) =xn
etf(xn) =x1.
Soit une partieAdeEvérifiantf(A)⊂A. SiAest non vide alors il existe
i∈ {1 n}tel quexi∈Amais alorsf(xi)∈Ai.e.xi+1∈Aet reprenant ce
processus on obtientxi xi+1 xn x1 xi−1∈Aet doncA=E.
Ainsi, siEest un ensemble fini, il existe une applicationf:E→Epour laquelle
les seules partiesAdeEvérifiantf(A)⊂Asont∅etE.
Inversement.
SoitEun ensemble infini etf:E→E.
Soitx∈Eet considérons la suite des élémentsx f(x) f2(x) fn(x) .
S’il existen∈N?tel quefn(x) =xalors la partie
A=x f(x) fn−1(x)⊂Eest non vide, distincte deE(carAfinie) et
vérifief(A)⊂A.
Sinon, la partieA=f(x) f2(x) ={fn(x)n∈N?} ⊂Eest non vide,
distincte deE(carx ∈A) et vérifief(A)⊂A.
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