Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Injectivité, surjectivité et bijectivité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Injectivité, surjectivité et bijectivité

Exercice 1[ 01501 ][correction]
Soientf:N→Netg:N→Nles applications définies par :
∀k∈N f(k) = 2ketg(k) =(kk2−1)2ssiikkrptiasepairstime

a) Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité defet deg.
b) Préciser les applicationsg◦fetf◦g.
Etudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.

Exercice 2[ 01502 ][correction]
Soienta,betctrois réels tels quec6= 0eta2+bc6= 0.
On considère la fonctionf:R\ {ac} →R\ {ac}définie parf(x) =xcxa−+ab.
Justifier que l’applicationfest bien définie.
Calculerf◦f, en déduire quefest une permutation dont on déterminera
l’application réciproque.

Exercice 3[ 01503 ][correction]
Soitf:N→Zdéfinie par

2
f(nn−2
) =n+1

Montrer quefest bien définie et bijective.

sinest pair
sinon

Exercice 4[ 01504 ][correction]
Soientf:E→Fetg:F→G. Etablir les implications suivantes :
a)g◦finjective⇒finjective.
b)g◦fsurjective⇒gsurjective
c)g◦finjective etfsurjective⇒ginjective.
d)g◦fsurjective etginjective⇒fsurjective.

Exercice 5[ 01505 ][correction]
SoientE F Gtrois ensembles,f:E→F,g:F→Geth:G→E
Etablir que sih◦g◦fest injective et queg◦f◦hetf◦h◦gsont surjectives
alorsf gethsont bijectives.

Enoncés

Exercice 6[ 01506 ][correction]
SoientEun ensemble etf:E→Etelle quef◦f◦f=f.
Montrer quefest injective si, et seulement si,fest surjective.

1

Exercice 7[ 01507 ][correction]
Soientf:E→Fetg:F→Edeux applications telles quef◦g◦fsoit bijective.
Montrer quefetgsont bijectives

Exercice 8[ 01508 ][correction]
SoientE F Gtrois ensembles,f1 f2:E→Fetg:F→G.
On supposeg◦f1=g◦f2etginjective. Montrer quef1=f2.

Exercice 9[ 01509 ][correction]
SoientE F Gtrois ensembles,f:E→Fetg1 g2:F→G.
On supposefsurjective etg1◦f=g2◦f. Montrer queg1=g2.

Exercice 10[ 01510 ][correction]
Soitf:E→Iune application surjective. On pose, pour touti∈I,
Ai=f−1({i}).
Montrer que lesAisont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale àE.

Exercice 11[ 01511 ][correction]
SoientAetBdeux parties d’un ensembleEet
P(E)→ P(A)× P(B)
f:(X7→(X∩A X∩B)

Montrer que :
a)fest injective si, et seulement si,A∪B=E
b)fest surjective si, et seulement si,A∩B=∅.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) On a
k0
f(k) 0

1 2
2 4

3
6

  
  

k0 1
etg(k) 0 0

2
1

3
1

  
  

Corrections

fest injective car2k= 2k0⇒k=k0mais non surjective car les nombres impairs
ne sont pas des valeurs prises.
gest surjective car2yest un antécédent deymais non injective car un nombre
pair et l’impair qui le suit prennent mme valeur pasg.
b) D’une part(g◦f)(k) =kdoncg◦f=IdN.
t pair
D’autre part(f◦g)(k) =kk−1nssiikosen.
g◦fest bijective.f◦gn’est ni injective, ni surjective.

Exercice 2 :[énoncé]
fest bien définie surR\ {ac}car le dénominateur ne s’y annule pas.

f(x) =ca⇔(ax+b)c=a(cx−a)⇔a2+bc= 0

qui est exclu, doncfest à valeurs dansR\ {ac}.
Par calculs
(f◦f)(x) =∙ ∙ ∙=xpour toutx∈R\ {ac}

Puisquef◦f=IdR\{ac},fest une involution, c’est donc une permutation et
f−1=f.

Exercice 3 :[énoncé]
Soitn∈N.
Sinest pair alorsf(n) =n2∈Z+et sinest impair alors
f(n) =−(n+ 1)2∈Z−?.
Dans les deux casf(n)∈Z.
Soientn n0∈N. Supposonsf(n) =f(n0).
Compte tenu de la remarque précédente,netn0ont nécessairement mme parité.
Sinetn0sont pairs alorsn2 =n02doncn=n0.
Sinetn0sont impairs alors−(n+ 1)2 =−(n0+ 1)2doncn=n0.
Ainsifest injective.
Soitm∈Z.
Sim>0alors pourn= 2m∈Non af(n) =22m=m.

Sim <0alors pourn=−2m−1∈Non af(n) =22m=m.
Ainsifest surjective.
Finalementfest bijective.

2

Exercice 4 :[énoncé]
a) Supposonsg◦finjective.
Soientx x0∈E. Sif(x) =f(x0)alorsg(f(x)) =g(f(x0)). Org◦finjective, donc
x=x0.
Ainsifinjective.
b) Supposonsg◦fsurjective.
Soitz∈G. Il existex∈Etel quez=g(f(x)). Poury=f(x)∈F, on ag(y) =z.
Ainsigsurjective.
c) Supposonsg◦finjective etfsurjective.
Par a), on afinjective et doncfbijective. Introduisonsf−1.
g= (g◦f)◦f−1est injective par composition d’applications injectives.
d) Supposonsg◦fsurjective etginjective.
Par b), on agsurjective doncgbijective. Introduisonsg−1.
f=−1(g◦f)est surjective par composition d’applications surjectives.
g◦

Exercice 5 :[énoncé]
Supposonsh◦g◦finjective etg◦f◦hainsi quef◦h◦gsurjectives.
Puisque(h◦g)◦fest injective, on afinjective.
Puisquef◦(h◦g)est surjective, on afsurjective.
1
Par suitefest bijective et on peut introduiref−.
Par compositionh◦g= (h◦g◦f)◦f−1est injective et par suitegest injective.
D’autre partg◦f◦hest surjective et doncgaussi. Finalementgest bijective.
Par compositionh= (h◦g)◦g−1est injective eth=f−1◦(f◦h◦g)◦g−1est
surjective donchest bijective.

Exercice 6 :[énoncé]
Supposonsfinjective.
Soity∈E. On af((f◦f)(y)) =f(y), orfest injective donc(f◦f)(y) =y.
Pourx=f(y)∈Eon af(x) =f(f(y)) =y. Finalementfest surjective.
Supposonsfsurjective.
Soientx x0∈Etels quef(x) =f(x0).
Puisquefest surjective,f◦fl’est aussi et donc∃a a0∈Etels quex= (f◦f)(a)
etx0= (f◦f)(a0).
La relationf(x) =f(x0)donne alors(f◦f◦f)(a0) = (f◦f◦f)(a0)d’où
f(a) =f(a0)puisx=f(f(a)) =f(f(a0)) =x0. Finalementfest injective.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
Par l’exercice précédent,f◦g◦fbijective impliquefinjective etfsurjective.
Ainsifest bijective et on peut introduiref−1.
g=f−1◦(f◦g◦f)◦f−1est bijective par composition d’applications bijectives.

Exercice 8 :[énoncé]
∀x∈Eon a(g◦f1)(x) = (g◦f2)(x)i.e.g(f1(x)) =g(f2(x))doncf1(x) =f2(x).
Ainsif1=f2.

Exercice 9 :[énoncé]
∀y∈F∃x∈Etel quey=f(x)et alorsg1(y) = (g1◦f)(x) = (g2◦f)(x) =g2(y)
doncg1=g2.

Exercice 10 :[énoncé]
Puisquefest surjective, lesAisont non vides.
SiAi∩Aj6=∅alors pourx∈Ai∩Ajon af(x) =ietf(x) =jdonci=j.
Par contraposée :i6=j⇒Ai∩Aj=∅.
Soientx∈Eeti=f(x). On ax∈Ai. AinsiE⊂SAipuis l’égalité.
i∈I

Exercice 11 :[énoncé]
a) Supposonsfinjective.f(E) = (A B) =f(A∪B)doncE=A∪B.
SupposonsA∪B=E. SoientX Y∈ P(E).
Sif(X) =f(Y)alors(X∩A X∩B) = (Y∩A Y∩B)doncX=X∩E=
X∩(A∪B) = (X∩A)∪(X∩B) = (Y∩A)∪(Y∩B) =Y∩(A∪B) =Y∩E=
Ainsifest injective.
b) Supposonsfsurjective. L’élément(A∅)possède un antécédentX∈ P(E).
On aA∩B= (X∩A)∩B=A∩(X∩B) =A∩ ∅=∅.
SupposonsA∩B=∅.
Soit(A0 B0)∈ P(A)× P(B). PourX=A0∪B0, on a
f(X) = ((A0∩A)∪(B0∩A)(A0∩B)∪(B0∩B)) = (A0 B0)carA0∩A=A0,
B0∩A=∅.

Y.

3

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