Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Image directe et image réciproque d'une partie

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Image directe et image réciproque d’une partie Exercice 1 [ 01512 ] [correction] Décrire l’image directe deR par la fonction exponentielle. 2Déterminer l’image réciproque de l’intervalle [−1,4] par la fonction f :x7→x déﬁnie surR. Exercice 2 [ 01513 ] [correction] Soit f :E→F une application. a) Montrer 0 0 0 0 0∀A,A ∈P(E), f(A∪A ) =f(A)∪f(A ) et f(A∩A )⊂f(A)∩f(A ) b) Montrer 0 −1 0 −1 −1 0 −1 0 −1 −1 0∀B,B ∈P(F), f (B∪B ) =f (B)∪f (B ) et f (B∩B ) =f (B)∩f (B ) Exercice 3 [ 01514 ] [correction] Soit f :E→F une application. Etablir −1 −1∀A∈P(E),A⊂f (f(A)) et∀B∈P(F),f(f (B))⊂B Exercice 4 [ 01515 ] [correction] Soient E et F deux ensembles et f :E→F. Montrer que f est injective si, et seulement si, 0 0 0∀A,A ∈℘(E),f(A∩A ) =f(A)∩f(A ) Exercice 5 [ 01516 ] [correction] Soit f :E→F une application. Montrer que : −1a) f est injective⇔∀A∈℘(E),A =f (f(A)). −1b) f est surjective⇔∀B∈℘(F),f(f (B)) =B. Exercice 6 [ 01517 ] [correction] Soit f :E→F une application. Montrer que : f est bijective si, et seulement si, ∀A∈℘(E),f(C A) =C f(A)E F Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections Exercice 5 : [énoncé] a) (⇒) Supposons f injective. Soit A∈P(E). −1On sait déjà que A⊂f (f(A)).Exercice 1 : [énoncé] −1 0 0 +? −1 Pour x∈f (f(A)), on a f(x)∈f(A) donc il existe x ∈A tel que f(x) =f(x ).exp(R) =R et f ([−1,4]) = [−2,2].

Voir

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Langue

Français

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Image directe et image réciproque

d’une

partie

Exercice 1[ 01512 ][correction]
Décrire l’image directe deRpar la fonction exponentielle.
Déterminer l’image réciproque de l’intervalle[−14]par la fonctionf:x7→x2
déﬁnie surR.

Exercice 2[ 01513 ][correction]
Soitf:E→Fune application.
a) Montrer

∀A A0∈ P(E),f(A∪A0) =f(A)∪f(A0)etf(A∩A0)⊂f(A)∩f(A0)

b) Montrer

Enoncés

∀B B0∈ P(F),f−1(B∪B0) =f−1(B)∪f−1(B0)etf−1(B∩B0) =f−1(B)∩f−1(B0)

Exercice 3[ 01514 ][correction]
Soitf:E→Fune application.
Etablir
∀A∈ P(E) A⊂f−1(f(A))et∀B∈ P(F) f(f−1(B))⊂B

Exercice 4[ 01515 ][correction]
SoientEetFdeux ensembles etf:E→F.
Montrer quefest injective si, et seulement si,

∀A A0∈℘(E) f(A∩A0) =f(A)∩f(A0)

Exercice 5[ 01516 ][correction]
Soitf:E→Fune application. Montrer que :
a)fest injective⇔ ∀A∈℘(E) A=f−1(f(A)).
b)fest surjective⇔ ∀B∈℘(F) f(f−1(B)) =B.

Exercice 6[ 01517 ][correction]
Soitf:E→Fune application. Montrer que :
fest bijective si, et seulement si,

∀A∈℘(E) f(CEA) =CF

f(A)

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
exp(R) =R+?etf−1([−14]) = [−22].

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soity∈f(A∪A0). Il existex∈A∪A0tel quey=f(x).
Six∈Aalorsy∈f(A). Sinon,x∈A0ety∈f(A0). Dans les deux cas
y∈f(A)∪f(A0).
Inversement, soity∈f(A)∪f(A0). Siy∈f(A)alors il existex∈Atel que
y=f(x).
Orx∈A⊂A∪A0doncy∈f(A∪A0). De mme siy∈f(A0).
Par double inclusion, l’égalité.
Soity∈f(A∩A0). Il existex∈A∩A0tel quey=f(x).
Puisquex∈A∩A0, on ax∈Adoncy∈f(A). De mmey∈f(A0)donc
y∈f(A)∩f(A0).
b) Soitx∈E.
x∈f−1(B∪B0)⇔f(x)∈B∪B0⇔f(x)∈Bouf(x)∈B0
⇔x∈f−1(B)oux∈f−1(B0)⇔x∈f−1(B)∪f−1(B0)
D’où la première égalité. La seconde égalité s’établit par la mme démonstration,
en changeant union en intersection et « et »en « ou ».

Exercice 3 :[énoncé]
Soitx∈A. On af(x)∈f(A)doncx∈f−1(f(A)). AinsiA⊂f−1(f(A)).
Soity∈f(f−1(B)). Il existex∈f−1(B)tel quey=f(x). Or, puisque
x∈f−1(B), on af(x)∈Bi.e.y∈B. Ainsif(f−1(B))⊂B.

Exercice 4 :[énoncé]
Supposonsfinjective.
SoientA A0∈℘(E). On sait déjàf(A∩A0)⊂f(A)∩f(A0).
Soity∈f(A)∩f(A0). Il existex∈Aetx0∈A0tel quey=f(x) =f(x0).
Orfest injective doncx=x0∈A∩A0puisy∈f(A∩A0).
Inversement supposons∀A A0∈℘(E) f(A∩A0) =f(A)∩f(A0).
Soientx x0∈E. Supposonsf(x) =f(x0).
PourA={x}etA0={x0}on af(A∩A0) =f(A)∩f(A0) ={f(x)} 6=∅donc
A∩A06=∅puisx=x0
.

Exercice 5 :[énoncé]
a)(⇒)Supposonsfinjective. SoitA∈ P(E).
On sait déjà queA⊂f−1(f(A)).
Pourx∈f−1(f(A)), on af(x)∈f(A)donc il existex0∈Atel quef(x) =f(x0).
Puisquefest injective,x=x0et doncx∈A. Ainsif−1(f(A))⊂Apuis l’égalité.
(⇐)Supposons∀A∈ P(E) A=f−1(f(A)). Soientx x0∈A.
Sif(x) =f(x0). ConsidéronsA={x}. On af(A) ={f(x)}donc
x0∈f−1(f(A)) =Ad’oùx=x0.
Ainsifinjective.
b)(⇒)Supposonsfsurjective. SoitB∈ P(F).
On sait déjàf(f−1(B))⊂B.
Soity∈B. Puisquefest surjective, il existex∈Etel quef(x) =y.
Puisquef(x)∈B, on ax∈f−1(B)et doncy=f(x)∈f(f−1(B)). Ainsi
B⊂f(f−1(B))puis l’égalité.
(⇐)Supposons∀B∈ P(F) f(f−1(B)) =B.
Soity∈F. PourB={y}, on af(f−1({y})) ={y}doncf−1({y})6=∅. Par suite
fest surjective.

Exercice 6 :[énoncé]
(⇒)SoitA∈ P(E). Soity∈f(CEA), il existex∈CEAtel quey=f(x).
Pour touty0∈f(A), il existex0∈Atel quey0=f(x0), orx0∈Aetx∈ Adonc
x6=x0etfétant injectivey=f(x)6=f(x0) =y0. Par suitey∈CFf(A). Ainsi
f(CEA)⊂CFf(A).
Inversement. Soity∈CFf(A), commefest surjective, il existex∈Etel que
y=f(x).
Ory∈ f(A)doncx∈ Ai.e.x∈CEApuisy=f(x)∈f(CEA). Ainsi
CFf(A)⊂f(CEA).
(⇐)Montrons quefest injective. Soientx x0∈E.
Six6=x0alors pourA={x}on ax0∈CEApuis
f(x0)∈f(CEA) =CFf(A) =CF{f(x)}i.e.f(x)6=f(x0).
Montrons quefest surjective.
PourA=Eon a
Imf=f(E) =CF(CFf(E)) =CF(f(CEE)) =CFf(∅) =CF∅=F.
Finalementfest bijective.

Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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