Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Ensembles ordonnés

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Ensembles ordonnés

Exercice 1[ 01518 ][correction]
On définit une relation binaire4surR+?par :

x4y⇔ ∃n∈N y=xn

Montrer que4 ?est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total

Exercice 2[ 01519 ][correction]
Soit4la relation définie surE=(x y)∈R2x6ypar

(x y)4(x0 y0)⇔(x y) = (x0 y0)ouy6x0

Montrer que4est une relation d’ordre surE.

Exercice 3[ 01520 ][correction]
On définit une relation binaire4sur{z∈CIm(z)>0}par :

z4z0⇔ |z|<|z0|ou (|z|=|z0|et Re(z)6Re(z0))

Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total.

Enoncés

Exercice 4[ 01521 ][correction]
SoitEl’ensemble des couples(I f)formé d’un intervalleIet d’une fonction réelle
définie surI.
On définit une relation4surEpar :(I f)4(J g)⇔I⊂JetgI=f.
Montrer que4est une relation d’ordre surE.

Exercice 5[ 01522 ][correction]
SoientEun ensemble etf:E→Rune application injective.
On définit surEune relation binaire4par

x4y⇔f(x)6f(y)

Montrer que4est une relation d’ordre surE.

Exercice 6[ 01523 ][correction]
SoientA Bdeux parties d’un ensembleEordonné par4.
On suppose queAetBont chacun un plus grand élément.
Qu’en est-il deA∪Blorsque l’ordre est total lorsqu’il ne l’est pas ? ?
Que dire deA∩B?

Exercice 7[ 01524 ][correction]
Soit(E4)un ensemble ordonné tel que toute partie non vide admet un plus
petit élément et un plus grand élément.
Montrer queEest fini.

1

Exercice 8[ 01525 ][correction]
SoitEun ensemble ordonné par une relation6.
Un tableau ànlignes etpcolonnes est formé d’élémentsaij∈Eaveciindice de
ligne (16i6n) etjindice de colonne (16j6p).
On note le plus petit élément de chaque colonne et l’on prend le plus grand de ces
plus petits :
1m6ja6xp16mii6nnaij

On note aussi le plus grand élément de chaque ligne et l’on prend le plus petit de
ces plus grands :
16mii6nn1m6ja6xpaij

a) Comparer ces deux nombres.
b) Donner un exemple de non égalité.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx >0, on ax=xnpourn= 1∈Ndoncx4x. La relation4est réflexive.
Soient >x y0, six4yety4xalors il existen m∈Ntels quey=xnet
x=ym.
On a alorsx=xnmdonclnx=nmlnx
Six= 1alorsy=xn= 1 =x.
Six6= 1alorslnx6= 0puis1 =nm. Orn m∈Ndoncn=m= 1puisx=y.
Finalement la relation4est antisymétrique.
Soient >x y z0. Six4yety4zalors∃n m∈Ntels quey=xnetz=ym.
On az=xmnavecmn∈Ndoncx4z. La relation4est transitive.
Finalement4est une relation d’ordre.
Cet ordre n’est pas total car, par exemple, 2 et 3 ne sont pas comparables.

Exercice 2 :[énoncé]
4est clairement réflexive et transitive.
Si(x y)4(x0 y0)et(x0 y0)4(x y)alors(x y) = (x0 y0)oux6y6x06y06x
et donc(x y) = (x x) = (x0 y0)
.

Exercice 3 :[énoncé]
4est clairement réflexive.
Siz4z0etz04zalors nécessairement|z|=|z0|et Re(z) =Re(z0)doncz=z0
car Im(z)Im(z0)>0.
Siz4z0etz04z00alors si|z|<|z00|alorsz4z00et sinon|z|=|z0|=|z00|et donc
Re(z)6Re(z0)6Re(z00)ce qui permet à nouveau d’affirmerz4z00
.
Pourz z0∈ {z∈CImz>0}.
Si|z|<|z0|alorsz4z0
Si|z|>|z0|alorsz04z.
Si|z|=|z0|alors dans le cas où Re(z)6Re(z0)on az4z0et, dans le cas
complémentaire, on az04z.
Dans tout les caszetz0sont comparables, la relation d’ordre est totale.

Exercice 4 :[énoncé]
La relation est clairement réflexive.
Si(I f)4(J g)et(J g)4(I f)alorsI⊂J,J⊂Ietg|I=fdoncI=Jet
f=g.
Si(I f)4(J g)et(J g)4(K h)alorsI⊂J⊂KethI= (hJ)I=gI=f
donc(I f)4(K h).
Finalement4est une relation d’ordre.

Exercice 5 :[énoncé]
Soitx∈E. On af(x)6f(x)doncx4x.
Soientx y∈E. Six4yety4xalorsf(x)6f(y)etf(y)6f(x)donc
f(x) =f(y). Orfest injective doncx=y.
Soientx y z∈E. Six4yety4zalorsf(x)6f(y)etf(y)6f(z)donc
f(x)6f(z)puisx4z
Finalement,4est une relation d’ordre.

2

Exercice 6 :[énoncé]
Si l’ordre est totalA∪Bpossède un plus grand élément :
max(A∪B) = max(max(A)max(B)).
Si l’ordre n’est pas total, les plus grands éléments deAet deBpeuvent ne pas
tre comparés aux éléments deAetB. Dans(N?|), pourA={24}et
B={39},AetBont un plus grand élément alors queA∪Bn’en a pas.
A∩Bpeut ne pas posséder de plus grand élément, cet ensemble peut notamment
tre vide.

Exercice 7 :[énoncé]
Par l’absurde supposonsEinfini.
Posonsx0= minE,x1= minE\ {x0},...,xn= minE\ {x0 x1     xn−1},...
L’ensemble{x0     xn   }n’a pas de plus grand élément. Absurde.

Exercice 8 :[énoncé]
a) Pour tout16m6n,

donc

puis

b) Pour le tableau

aim616mja6xpaij

16mii6nnaim61min m6ja6xaij
6i6n1p

max6mii6nnaim616mii6n maxaij
16m6p1n16j6p
3124

max mi6n2aij= 2et1m6iin maxaij= 3
16j62 16i62 16j62

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