Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices et endomorphismes antisymétriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Matrices et endomorphismes antisymétriques

Exercice 1[ 00374 ][correction]
Un endomorphismefd’une espace vectoriel euclidien est dit antisymétrique si
?
f=−f.
a) Soitf∈ L(E). Montrer quefest antisymétrique si, et seulement si,

∀x∈E(f(x)|x) = 0

Enoncés

On suppose désormais queEest un espace vectoriel euclidien orienté de
dimension 3.
b) Soitu∈E. Montrer quef:x7→u∧xest un endomorphisme antisymétrique
deE.
c) Inversement, soitfun endomorphisme antisymétrique deE. Etablir qu’il existe
un unique vecteuru∈Etel quef(x) =u∧xpour toutx∈E.

Exercice 2[ 00373 ][correction]
Montrer que tout matrice antisymétrique réelle est de rang pair.

Exercice 3Centrale PC[ 03084 ][correction]
Montrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique réelle est positif ou nul.

Exercice 4[ 02606 ][correction]
SoitEun espace vectoriel euclidien dont le produit scalaire est noté(|)
Une applicationf:E→Eest dite antisymétrique lorsque

∀x y∈E(f(x)|y) =−(x|f(y))

a) Montrer qu’une telle application est linéaire (ce qui permet dès lors de parler
d’endomorphisme antisymétrique)
b) Montrer que la matrice dans une base orthonormée d’un endomorphisme
antisymétrique deEest elle-mme antisymétrique.
c) SoientA∈ Mn(R)une matrice antisymétrique,λune valeur propre complexe
deAetX∈ Mn1(C)une colonne non nulle vérifiant

AX=λX
¯
En calculant de deux façonstXAX, établir

λ∈iR

d) En déduire que le déterminant d’un endomorphisme antisymétrique est un réel
positif.

Exercice 5[ 00375 ][correction]
Un endomorphismeud’un espace euclidienEest dit antisymétrique si

∀x∈E,(u(x)|x) = 0

Soituun endomorphisme antisymétrique.
a) Quelles sont les seules valeurs propres réelles possibles pouru?
A quelle condition un endomorphisme antisymétrique est-il diagonalisable ?
b) Etablir que, pour toutx y∈E,

(u(x)|y) =−(x|u(y))

1

En déduire que la matriceAdans une base orthonormée d’un endomorphisme
antisymétrique est elle-mme antisymétrique.
c) SoientAune matrice antisymétrique réelle,λune valeur propre complexe de la
matriceAetXun vecteur propre associé.
¯
En étudianttXAX, établir queλ∈iR.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02758 ][correction]
a) SoitEunR-espace vectoriel,ϕune forme bilinéaire symétrique non dégénérée
surEetfdansL(E)telle que

∀x y∈E,ϕ(f(x) y) =−ϕ(x f(y))

Montrer quefest de rang pair.
b) SiA∈ Mn(R), montrer que le commutant deAdansMn(R)est de
codimension paire.

Exercice 7X MP[ 02915 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)antisymétrique. Montrer queAest orthogonalement semblable à
une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et des blocs de la
forme
−0a0a

oùa∈R

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 03748 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle quetA=−A.
a) Montrer que sinest impair alorsAn’est pas inversible.
b) Montrer que sinest pair,detA>0. Sous quelle condition l’inégalité est-elle
stricte ?

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03749 ][correction]
Montrer queAantisymétrique réelle d’ordrenest semblable à
0C00

oùCest une matrice inversible d’ordre pair.

Exercice 10CCP MP[ 03434 ][correction]
SoientEun espace euclidien dont le produit scalaire est noté(|)etuun
endomorphisme deEvérifiant

∀x∈E(u(x)|x) = 0

a) Montrer queu?=−u.
b) Montrer que l’image et le noyau deusont supplémentaires.
c) Montrer que le rang deuest pair.

Exercice 11CCP MP[ 02737 ][correction]
SoitEeuclidien orienté de dimension 3 etun espace vectoriel réel f∈ L(E).
Montrer l’équivalence de :
(i)f?=−f;
(ii) il existew∈Etel quef(x) =w∧xpour toutx∈E.

Exercice 12CCP PC[ 03618 ][correction]
Soitfun endomorphisme bijectif d’un espace euclidienEvérifiant :

∀(x y)∈E2(f(x)|y) =−(x|f(y))

Enoncés

a) Montrer que pour tout vecteurxdeE, les vecteursxetf(x)sont orthogonaux.
b) Montrer que l’endomorphismes=f◦fest symétrique.
Soital’une de ses valeurs propres etVale sous-espace propre associé.
c) Soitx∈Va\ {0E}. Montrer que

(s(x)|x) =akxk2=− kf(x)k2

et en déduire quea <0.
d) On considère toujoursx∈Va\ {0E}
Montrer queF=Vect(x f(x))etF⊥sont stables parf.

Montrer que l’endomorphisme induit surFparfa une matrice de la forme
b0−0b

dans une base orthonormée (on préciserab)
e) Conclure que la dimensionEest paire.

Exercice 13CCP MP[ 02552 ][correction]
On noteEl’espace vectorielRn,n>2, muni de sa structure euclidienne
canonique. Le produit scalaire est noté(|).
On dit qu’une applicationf:E→Eest antisymétrique si

∀x y∈E,(x|f(y)) =−(f(x)|y)

a) Montrer qu’une application antisymétrique deEest linéaire.
Que dire de sa matrice dans la base canonique deE?
b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes antisymétriques deEest un
sous-espace vectoriel deL(E)et donner sa dimension.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Sifest antisymétrie(f(x)|x) = (x|f?(x)) =−(x|f(x))donc(f(x)|x) = 0
pour toutx∈E.
Inversement, si pour toutx∈E,(f(x)|x) = 0alors pour toutx y∈E,
(f(x+y)|x+y) = 0et en développant et simplifiant on obtient
(f(x)|y) + (f(y)|x) = 0d’où(f(x)|y) = (x| −f(y))et doncf?=−f.
b)fest bien un endomorphisme et(f(x)|x) = (u∧x|x) = 0.
c) Soit(i j k)une base orthonormée directe deE. Compte tenu de son
antisymétrie, la matrice defdans cette base esa0c.
t de la forme−−0b−ca0b
Pouru=xi+yj+zk, la matrice dex7→u∧xdans la base(i j k)est
0−z yégalité de représentations matricielles, on peut conclure. Par
z0−x
−y x0
à l’existence et l’unicité d’un vecteuru∈Etel quef(x) =u∧xpour toutx∈E.
En l’occurrenceu=−ci+bj−ak.

Exercice 2 :[énoncé]
SoitA∈ Mn(R)antisymétrique.
SiAest inversible alorsdetA6= 0et la relationtA=−Adonne
detA= (−1)ndetAet doncnest pair.
SiAn’est pas inversible, en considérant une base orthonormée deRnadaptée à
kerA, on peut écrireA=tP A0PavecP∈ On(R)etA0antisymétrique de la
formeA0=00A000avecA00antisymétrique inversible. Puisque
rgA=rgA0=rgA00,Aest de rang pair.

Exercice 3 :[énoncé]
SoitAune matrice antisymétrique réelle.
Le déterminant deAest le produit des valeurs propres complexes deAcomptées
avec multiplicité. Puisque la matriceAest réelle, ses valeurs propres complexes
non réelles sont deux à deux conjuguées et forment donc un produit positif. Il
reste à étudier les valeurs propres réelles deA.
Soientλune valeur propre réelle deAetXest une colonne propre associée.
D’une part
tXAX=λtXX

D’autre part

tXAX=−t(AX)X=−λtXX

On en déduitλ= 0sachantX6= 0.
Par suite le déterminant deAest positif ou nul.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Pour tout vecteurxdeE,

Ainsi

(x|f(λy+µz)) =−(f(x)|λy+µz) =−λ(f(x)|y)−µ(f(x)|z)

(x|f(λy+µz)) = (x|λf(y) +µf(z))

3

Or ceci valant pour toutxon peut affirmer la linéarité de, f.
b) NotonsA= (aij)la matrice defdans une base orthonormée(e1     en)de
Rn.
On aaij= (ei|f(ej))et l’antisymétrie defdonne alorsaij=−ajid’où
tA=−A.
¯ ¯
c) D’une parttXAX=λtXXet d’autre part
¯ ¯ ¯−tXX=−λ¯tX¯X.