Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices symétriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Matrices symétriques

Exercice 1[ 02614 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)symétrique.
On supposeAn=On. DéterminerA.

Exercice 2[ 02503 ][correction]
SoitM∈ Mn(R)telle queM+tMsoit nilpotente.
Montrer queMest antisymétrique.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 01330 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle quetAA=AtA. On suppose qu’il existep∈N?tel que
Ap= 0.
a) Montrer quetAA= 0.
b) En déduire queA= 0.

Enoncés

Exercice 4[ 00369 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Montrer que la matricetAAest diagonalisable à valeurs propres
positives.

Exercice 5[ 00370 ][correction]
SoitAune matrice réelle carrée d’ordren.
a) Montrer que
χtAA=χAtA
b) Montrer que les matricestAAetAtAsont semblables.

Exercice 6[ 00371 ][correction]
Soient
A∈ Mn(R)etB=12tA+A
On noteαla plus petite valeur propre deBetβsa plus grande.
a) Pour une colonneX∈ Mn1(R)comparertXAXettXBX.
b) Montrer que pour toutX∈ Mn1(R),
αtXX6tXAX6βtXX

c) En déduire

SpA⊂[α β]

Exercice 7[ 03491 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Mn(R)une matrice symétrique.
a) Justifier que le spectre deAest une partie finie non vide deR.
On pose
λmin= minSpAetλmax= maxSpA

b) Montrer

∀16i6n λmin6aii6λmax

Exercice 8[ 00372 ][correction]
SoitA∈ Sn(R)à valeurs propres positives. Etablir

(detA)1n61trA
n

Exercice 9[ 02600 ][correction]
On étudie l’équationMtM M=Ind’inconnueM∈ Mn(R).
a) Montrer qu’une solution est une matrice symétrique.
b) En déduire les solutions de l’équation étudiée.

Exercice 10Centrale MP[ 02401 ][correction]
SoientAetBdansMn(R). Montrer, siAtA=BtB, qu’il existeQ∈ On(R)tel
queB=AQ.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02750 ][correction]
SiM∈ Sn(R)vérifieMp=Inavecp∈N?, que vautM2?

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02751 ][correction]
Montrer que le rang deA∈ Mn(R)est égal au nombre de valeurs propres non
nulles (comptées avec leur ordre de multiplicité) detAA.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02757 ][correction]
SoitJla matrice deMn(R)dont tous les coefficient sont égaux à 1. Trouver
P∈ On(R)etD∈ Mn(R)diagonale telles quetP J P=D.

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 14X MP[ 03077 ][correction]
Soientm n∈N?etM∈ Mmn(R).
Etablir l’existence deU∈ Om(R)etV∈ On(R)telle que la matriceN=U M V
vérifie :
∀(i j)∈ {1     m} × {1     n} i6=j⇒Nij= 0

Exercice 15[ 03088 ][correction]
Soit
a1b1(0)
.
c1a.∈ M(R)
A=2.n
.n−
 .. . . .ban1
(0)cn−1

vérifiantbkck>0pour tout16k6n−1.
a) Montrer qu’il existe une matrice diagonale inversibleDvérifiant

D−1AD∈ Sn(R)

b) En déduire queAest diagonalisable.

Enoncés

Exercice 16[ 03161 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Sn(R)de valeurs propresλ1     λncomptées avec multiplicité.
Etablir
n n
Xai2j=Xλi2
ij=1i=1

Exercice 17[ 03162 ][correction]
SoientA B∈ Sn(R)etp∈N. On suppose queA2p+1=B2p+1. Montrer que
A=B.

Exercice 18[ 03163 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Montrer que les matricestAAetAtAsont orthogonalement
semblable i.e.
∃P∈ On(R)tΩ(tAA)Ω =AtA

Exercice 19CCP MP[ 03398 ][correction]
Justifier que
A=−−221−−12−−22
2 1
est diagonalisable et trouverPtelle quetP APsoit diagonale.

Exercice 20[ 03488 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)vérifiant
SptAA−AtA⊂R+

Montrer queAettAcommutent.

Exercice 21[ 03489 ][correction]
SoitA∈ Sn(R)vérifiantA2=A. Etablir
kAk16n√trA

Exercice 22[ 03664 ][correction]
SoitM∈ Mn(R)etA=tM M.
a) Montrer que les valeurs propres deAsont positives.
b) Soit(Xi)16i6nune famille orthonormée de colonnes telle que la famille
(M Xi)16i6nsoit orthogonale.
Montrer que lesXisont des vecteurs propres deA.

Exercice 23Mines-Ponts PC[ 03762 ][correction]
SoientA∈ Mn(R)symétrique. On pose

B=A3+A+In

Montrer queAest un polynôme enB.

Exercice 24[ 03758 ][correction]
SoientA∈ Mn(R)symétrique et positive. On pose

B=A2+A+In

Montrer queAest un polynôme enB.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Enoncés

Exercice 25Centrale MP[ 03738 ][correction]
a)A=abbc∈ M2(R)etB=2112
A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura b cexiste-t-ilP∈ O2(R)telle
queA=P BtP?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb c∈Ret
P∈ O2(R)tels queA=P BtP?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes surcexiste-t-ila b∈Ret
P∈ O2(R)tels queA=P BtP?
b)A=cdab∈ M2(R)etB=2112
A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura b c dexiste-t-ilP∈GL2(R)
telle queA=P BP−1?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb c d∈Ret
P∈GL2(R)tels queA=P BP−1?
A quelles conditions nécessaires et suffisantes surdexiste-t-ila b c∈Ret
P∈GL2(R)tels queA=P BP−1?
c) SiA B∈ Mn(R), justifier l’existence de
P Qm∈aOxn(RdetP AtP+QBtQ
)
d) Calculer ce maximum siB=2112etA=−21−−12.
e) SiA B∈ Mn(R),
 

sup detP AP−1+QBQ−1
PQ∈GLn(R)

est-il fini en général ? (Si oui, le montrer, si non, donner un contre-exemple).
f) De manière générale, siA1     Ak∈ S2+(R)déterminer
P1Pk∈O2(R)detP1A1tP1+∙ ∙ ∙+PkAk tPk
max

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 26CCP MP[ 02413 ][correction]
On considère la matrice
A=−−122−−212
a) Justifiez queAest diagonalisable.
b) DéterminerPetDdansM3(R)telles que
tP AP=D.

1
−2
−2

tP=P−1,Dest diagonale et

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Aest diagonalisable car symétrique et ses valeurs propres sont nulles car racines
deXn. On en déduit queAest semblable à la matrice nulle et donc égale à la
matrice nulle.

Exercice 2 :[énoncé]
A=M+tMet ses valeurs propres sont nullesest diagonalisable car symétrique
car racines deXn. On en déduit queAest semblable à la matrice nulle et donc
égale à la matrice nulle. AinsiMest antisymétrique.

Exercice 3 :[énoncé]
a) PuisqueAettAcommutent, on a(tAA)p= (tA)pAp= 0et donctAAest
nilpotente.
D’autre part, la matricetAAest symétrique réelle donc diagonalisable. Etant
nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0 et donctAAest nulle car
semblable à la matrice nulle.
b) En exploitant le produit scalaire canonique surMn(R)on a
kAk2= (A|A) =trtAA= 0

et doncA= 0

Exercice 4 :[énoncé]
La matricetAAsymétrique réelle donc diagonalisable (via une matrice deest
passage orthogonale). Siλest valeur propre detAAalors pourXvecteur propre
associé,tXtAAX=λtXXettXtAAX=t(AX)AXdoncλ=(AkXX|kA2X)>0avec
(|)produit scalaire canonique surMn1(R).

Exercice 5 :[énoncé]
a) PourAinversible

detAχtAA(λ) = det(AtAA−λA) =χAtA(λ)detA

doncχtAA=χAtApuisquedetA6= 0
.
Les applicationsA7→χtAAetA7→χAtAétant continues et coïncidant sur la
partie dense GLn(R), on peut affirmer qu’elles so