Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Endomorphismes normaux
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Endomorphismes
normaux
Enoncés
Exercice 1[ 03661 ][correction]
Soituun endomorphisme d’un espace euclidienE. On supposeu?◦u=u◦u?.
a) Montrer que les endomorphismesuetu?ont les mmes sous-espaces propres.
b) Montrer que les sous-espaces propres deusont deux à deux orthogonaux.
Exercice 2[ 03662 ][correction]
Soituun endomorphisme d’un espace euclidienE. On supposeudiagonalisable et
u?◦u=u◦u?. Montrer queuest autoadjoint.
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) Soientλ∈RetF=Eλ(u) = ker(u−λIdE).
Puisqueuetu?commutent, l’espaceFest stable paru?.
Considérons alors les endomorphismesvetwrestrictions deuetu?à l’espaceF.
Puisque
∀x y∈E(u(x)|y) = (x|u?(y))
on a
∀x y∈F(v(x)|y) = (x|w(y))
et doncw=v?. Orv=λIdFdoncw?= (λIdF)?=λIdF.
AinsiEλ(u)⊂Eλ(u?)et un raisonnement symétrique assure l’égalité.
b) Soientλ µ∈Rdeux valeurs propres distinctes deu.
Soientx∈Eλ(u)ety∈Eµ(u) =Eµ(u?).
D’une part
(u(x)|y) =λ(x|y)
D’autre part
(u(x)|y) = (x|u?(y)) =µ(x|y)
Puisqueλ6=µ, on obtient(x|y) = 0.
Exercice 2 :[énoncé]
Soientλ∈RetF=Eλ(u) = ker(u−λIdE).
Puisqueuetu?commutent, l’espaceFest stable paru?.
Considérons alors les endomorphismesvetwrestrictions deuetu?à l’espaceF.
Puisque
∀x y∈E(u(x)|y) = (x|u?(y))
on a
∀x y∈F(v(x)|y) = (x|w(y))
et doncw=v?. Orv=λIdFdoncw?= (λIdF)?=λIdF.
AinsiEλ(u)⊂Eλ(u?)et un raisonnement symétrique assure l’égalité.
Les endomorphismesuetu?sont donc égaux sur chaque sous-espaces propres de
u.
Oruest diagonalisable donc
E
=⊕E
λ∈Spu λ(u)
et par égalité deux applications linéaires sur les espaces d’une décomposition en
somme directe, on peut conclureu=u?.
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