Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Automorphismes orthogonaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Automorphismes orthogonaux

Exercice 1[ 00342 ][correction]
Soitf∈ O(E)diagonalisable. Montrer quefest une symétrie.

Enoncés

Exercice 2[ 00343 ][correction]
SoientFun sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidienEetf∈ O(E).
Montrer
f(F⊥) =f(F)⊥

Exercice 3[ 00344 ][correction]
Soientfun automorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidienEet
F= ker(f−Id).
Montrer quef(F⊥) =F⊥.

Exercice 4[ 00345 ][correction]
Soientf∈ O(E)etVun sous-espace vectoriel deE.
Montrer que :

Vest stable pourfsi, et seulement si,V⊥l’est

Exercice 5[ 03082 ][correction]
SoientEun espace euclidien etf:E→Eune application linéaire vérifiant

∀x y∈E(x|y) = 0⇒(f(x)|f(y)) = 0

a) Calculer(u+v|u−v)pouru vvecteurs unitaires.
b) Etablir qu’il existeα∈R+vérifiant

∀x∈Ekf(x)k=αkxk

c) Conclure qu’il existeg∈ O(E)vérifiantf=αg

Exercice 6[ 00346 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien etf:E→Eune application telle que

∀x y∈E(f(x)|f(y)) = (x|y)

En observant que l’image parfd’une base orthonormée est une base orthonormée
montrer quefest linéaire.

Exercice 7[ 03075 ][correction]
SoientEun espace euclidien etfune application deEversEvérifiant

a) Montrer que

b) Etablir

c) Etablir que

f(0) = 0et∀x y∈E,kf(x)−f(y)k=kx−yk

∀x∈E,kf(x)k=kxk

∀x∈E f(−x) =−f(x)

∀x y∈E,(f(x)|f(y)) = (x|y)

d) SoitB= (e1     en)une base orthonormée deE. Justifier que
n
∀x∈E f(x) =X(ek|x)f(ek)
k=1

e) En déduire quefest un automorphisme orthogonal deE.

Exercice 8[ 00348 ][correction]
Soientaun vecteur d’un espace euclidien orientéEde dimension 3 et
fa ra∈ L(E)définis par

fa(x) =a∧xetra= exp(fa)

Montrer queraest une rotation et en donner les éléments caractéristiques.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02730 ][correction]
SoitEun espace euclidien. Quels sont les endomorphismes deEtels que pour
tout sous-espace vectorielVdeE

f(V⊥)⊂(f(V))⊥?

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02731 ][correction]
Soitn∈N?. On noteMl’espace vectoriel réelMn(R). On pose
ϕ: (A B)∈ M27→trtAB

a) Montrer queϕest un produit scalaire.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante surΩ∈ Mpour queM7→ΩM
soitϕ-orthogonale.

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Enoncés

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02740 ][correction]
Dans un espace euclidienE, soitf∈ L(E). Montrer que deux des trois propriétés
suivantes entraînent la troisième :
(i)f ;est une isométrie
(ii)f2=−Id ;
(iii)f(x)est orthogonal àxpour toutx.

Exercice 12X MP[ 03076 ][correction]
Soit(Ehi)un espace euclidien.
Pourϕ∈ O(E), on noteM(ϕ) =Im(ϕ−IdE)etF(ϕ) = ker(ϕ−IdE).
.
Siu∈E\ {0},sudésigne la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplanu⊥
a) Soitϕ∈ O(E). Montrer queM(ϕ)⊕⊥F(ϕ) =E.
b) Si(u1     uk)est libre, montrer :

M(su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk) =Vect(u1     uk)

c) On suppose(u1     uk)libre. Soientv1     vk∈E\ {0}tels que

su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk=sv1◦ ∙ ∙ ∙ ◦svk

Montrer que(v1     vk)est libre.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02748 ][correction]
On note(|)le produit scalaire canonique deRn. Pour toute famille
u= (u1     up)∈(Rn)pon pose

Mu= ((ui|uj))16ij6p

a) Montrer que(u1    up)est libre si, et seulement si,Muest inversible.
b) On suppose qu’il existeu= (u1     up)etv= (v1     vp)telles queMu=Mv.
Montrer qu’il existef∈ O(Rn)telle quef(ui) =f(vi)pour touti.

Exercice 14[ 03487 ][correction]
Déterminer les applicationsu∈ O(E)vérifiant

u−Id)2˜
( = 0

Exercice 15CCP MP[ 02554 ][correction]
Soituun automorphisme orthogonal deEeuclidien etv=u−Id.
⊥
a) Montrer quekerv= (Imv).
b) Soit
n−1
un=n1Xuk
k=0
Montrer que(un(x))converge, pour tout vecteurx, vers le projeté orthogonal de
xsurkerv.

Exercice 16CCP PC[ 03379 ][correction]
Soituun automorphisme orthogonal d’un espace euclidienEde dimensionn.
a) On posev=u−Id. Montrer

kerv= (Imv)⊥

b) Soitx∈E. Justifier l’existence de(x1 y)∈kerv×Etel que
x=x1+v(y)

Montrer
1N−11
NXuk(x) =x1+N(uN(y)−y)
k=0
c) On notepla projection orthogonale surkerv. Montrer

N
∀x∈ENl→im+∞p(x)−N1kX=−10uk(x)= 0

Exercice 17Centrale PC[ 03743 ][correction]
p qsont deux entiers strictement positifs.A Bdeux matrices deMpq(R)telles
quetAA=tBB.
a) ComparerkerAetkerB.
b) Soitf(respectivementg) l’application linéaire deRqdansRpde matriceA
(respectivementB) dans les bases canoniques deRqetRp. On munitRpde sa
structure euclidienne canonique. Montrer que
∀x∈Rqhf(x) f(y)i=hg(x) g(y)i
c) Soient(ε1     εr)et(ε01     ε0r)deux bases d’un espace euclidienFde
dimensionrvérifiant
∀(i j)∈ {1     r}2hεi εji=ε0i ε0j

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Montrer qu’il existe une application orthogonalesdeF

∀i∈ {1     r} s(εi) =εi0

telle que

d) Montrer qu’il existeU∈ Op(R)tel queA=U B.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 18Centrale MP[ 03741 ][correction]
SoitEun espace euclidien ; on noteO(E)le groupe des endomorphismes
orthogonaux deEet on définit l’ensemble

Γ ={u∈ L(E)∀x∈Eku(x)k6kxk}

a) Montrer queΓest une partie convexe deL(E)qui contientO(E).
b) Soitu∈Γtel qu’il existe(f g)∈Γ2vérifiant

f6=getu(=12f+g)

Montrer queu∈O(E).
c) Soitvun automorphisme deE; montrer qu’il existeρ∈ O(E)etsun
endomorphisme autoadjoint positif deEtels quev=ρ◦s.
On admet que ce résultat reste valable si on ne suppose plusvbijectif.
d) Soitu∈Γqui n’est pas un endomorphisme orthogonal.
Montrer qu’il existe(f g)∈Γ2tels que

f6=getu(21=f+g)

e) Démontrer le résultat admis à la question c).
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitλvaleur propre def. Pourxvecteur propre, on af(x) =λxavec
kf(x)k=kxkd’oùλ=±1. Une diagonalisation defest alors réalisée avec des 1
et des−1sur la diagonale, c’est une symétrie.

Exercice 2 :[énoncé]
fétant un automorphisme,dimf(F) = dimFetdimf(F⊥) = dimF⊥. Par suite

dimf(F⊥) = dimf(F)⊥

Soientx∈f(F⊥)ety∈f(F). On peut écrirex=f(a)ety=f(b)aveca∈F⊥
etb∈F. On a
(x|y) = (f(a)|f(b)) = (a|b) = 0
doncf(F⊥)⊂f(F)⊥puis l’égalité par les dimensions.

Exercice 3 :[énoncé]
Soity∈f(F⊥). Il existex∈F⊥tel quey=f(x). On a alors∀z∈F,
(y|z) = (f(x)|f(z)) = (x|z) = 0.
Par suitef(F⊥)⊂F⊥.
De plusfconserve les dimensions car c’est un automorphisme donc il y a égalité.

Exercice 4 :[énoncé]
(⇒) SiVest stable pourfalorsf(V)⊂Vet puisquefe