Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Rang d'une application linéaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Rang d’une application linéaire

Exercice 1[ 00189 ][correction]
Soientu v∈ L(Kn)tels que

u+v=id et rgu+rgv6n

Montrer queuetvsont des projecteurs.

Enoncés

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02682 ][correction]
Soientf g∈ L(E)oùEest un espace vectoriel surKde dimension finie. Montrer

|rgf−rgg|6rg(f+g)6rgf+rgg

Exercice 3[ 00201 ][correction]
SoientE FdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies etf g∈ L(E F).
Montrer
rg(f+g) =rg(f) +rg(g)⇔(Ikemrff∩+Ikmegrg=={0E}

Exercice 4[ 00191 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes deE. Montrer que :
a) rg(f◦g)6min(rgfrgg).
b) rg(f◦g)>rgf+rgg−dimE.

Exercice 5[ 03639 ][correction]
Soientv∈ L(E F)etu∈ L(F G). Etablir

rgu+rgv−dimF6rg(u◦v)6min(rgurgv)

Exercice 6[ 02467 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
a) Montrer
rg(g◦f) =rgg⇔E=Imf+ kerg

b) Montrer

rg(g◦f) =rgf⇔Imf∩kerg={0}

Exercice 7[ 00195 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf g∈ L(E).
Etablir que
dim ker(g◦f)6dim kerg+ dim kerf

Exercice 8[ 00192 ][correction]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielEde
dimension finien.
Former une condition nécessaire et suffisante surFetGpour qu’il existe un
endomorphismeudeEtel que Imu=Fetkeru=G.

Exercice 9[ 00194 ][correction]
Soientf∈ L(E)etFun sous-espace vectoriel deE. Montrer que
dim kerf∩F>dimF−rgf.

Exercice 10[ 00196 ][correction]
On dit qu’une suite d’applications linéaires

{0}u→0E1u→1E2u→2∙ ∙ ∙un→−1Enu→n{0}

est exacte si on a Imuk= keruk+1pour toutk∈ {0     n−1}. Montrer que si
tous lesEksont de dimension finie, on a la formule dite d’Euler-Poincaré :

n
X(−1)kdimEk= 0
k=1

Exercice 11[ 00197 ][correction]
[Images et noyaux itérés d’un endomorphisme]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finien>1.
Pour toutp∈N, on pose

Ip=ImfpetNp= kerfp

a) Montrer que les suites(Ip)p>0et(Np)p>0sont respectivement décroissante et
croissante et que celles-ci sont simultanément stationnaires.
b) On noterle rang à partir duquel les deux suites sont stationnaires. Montrer

Ir⊕Nr=E

1

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Exercice 12[ 00199 ][correction]
Soitf∈ L(E)tel quef2= 0avecEunK-espace vectoriel de dimension finie
Montrer que
∃g∈ L(E),f◦g+g◦f=IdE⇔Imf= kerf

Exercice 13[ 00503 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf g∈ L(E).
Montrer
Img⊂Imf⇔ ∃h∈ L(E) g=f◦h

Exercice 14[ 00202 ][correction]
[Factorisation par un endomorphisme]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf g∈ L(E). Montrer

kerf⊂kerg⇔ ∃h∈ L(E) g=h◦f

Exercice 15[ 00185 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etu v∈ L(E).
Résoudre l’équationu◦f=vd’inconnuef∈ L(E).

Enoncés

Exercice 16[ 00200 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finienetFun sous-espace vectoriel
deEde dimensionp. On note

AF={f∈ L(E)Imf⊂F}etBF={f∈ L(E)F⊂kerf}

a) Montrer queAFetBFsont des sous-espaces vectoriels deL(E)et calculer
leurs dimensions.
b) Soientuun endomorphisme deL(E)etϕ:L(E)→ L(E)définie par
ϕ(f) =u◦f. Montrer queϕest un endomorphisme deL(E). Déterminer
dim kerϕ.
c) Soitv∈Imϕ. Etablir que Imv⊂Imu Déterminer rg. Réciproque ?ϕ.

Exercice 17[ 00203 ][correction]
SoientEetFdesK-espaces vectoriels de dimensions finies etf∈ L(F E).
Exprimer la dimension de{g∈ L(E F)f◦g◦f= 0}en fonction du rang defet
des dimensions deEetF.

Exercice 18Centrale MP[ 02379 ][correction]
Soitf∈ L(R6)tel que rgf2= 3. Quels sont les rangs possibles pourf?

Exercice 19[ 03242 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie etFun sous-espace vectoriel de
L(E)stable par composition et contenant l’endomorphisme IdE.
Montrer queF∩GL(E)est un sous-groupe de(GL(E)◦)

Exercice 20[ 03156 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer
∀k `∈Ndimkeruk+`6dimkeruk+ dimkeru`

2

Exercice 21CCP MP[ 02585 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien,fetgdeux endomorphismes
deE.
a) En appliquant le théorème du rang à la restrictionhdefà l’imageg, montrer
que
rgf+rgg−n6rg(f◦g)
b) Pourn= 3, trouver tous les endomorphismes deEtels quef2= 0.

Exercice 22CCP MP[ 02533 ][correction]
Soientu v:Rn[X]→Rn[X]définies par

u(P) =P(X+ 1)etv(P) =P(X−1)

a) Calculer rg(u−v)en utilisant sa matrice.
b) Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Exercice 23CCP MP[ 02504 ][correction]
Soientuetvdeux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finieE.
a) Montrer que|rg(u)−rg(v)|6rg(u+v)6rg(u) +rg(v).
b) TrouveruetvdansL(R2)tel que rg(u+v)<rg(u) +rg(v).
c) Trouver deux endomorphismesuetvdeR2tel que rg(u+v) =rg(u) +rg(v).

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a

Kn=Im(u+v)⊂Imu+Imv

Corrections

donc rgu+rgv>npuis rgu+rgv=n
Six∈kerualorsx=u(x) +v(x) =v(x)doncx∈Imv. Par les dimensions, on
conclutkeru=Imvet de mmekerv=Imu. Par suiteu◦v=v◦u= 0et donc
aisémentu2=uetv2=v.

Exercice 2 :[énoncé]
Facilement Im(f+g)⊂Imf+Imgdonc rg(f+g)6dim(Imf+Img)6rgf+rgg.
Puisquef=f+g+ (−g), rgf6rg(f+g) +rg(−g) =rg(f+g) +rgg.
Aussi rgg6rg(f+g) +rgfdonc|rgf−rgg|6rg(f+g).

Exercice 3 :[énoncé]
(⇒) Supposons rg(f+g) =rgf+rgg.
Sachant Im(f+g)⊂Imf+Img, on a rg(f+g)6rgf+rgg−dim (Imf∩Img)et
doncdim(Imf∩Img)60.
Ainsi Imf∩Img={0}.
Sachantkerf∩kerg⊂ker(f+g), on a
dim kerf+ dim kerg−dim(kerf+ kerg)6dim ker(f+g).
Par la formule du rang, on obtient alors
dimE+rg(f+g)6rgf+rgg+ dim(kerf+ kerg)et donc
dim(kerf+ kerg)>dimE. Ainsikerf+ kerg=E
(⇐) Supposons Imf∩Img={0}etkerf+ kerg=E.
Montrons Im(f+g) =Imf+Img.
On sait déjà Im(f+g)⊂Imf+Img.
Inversement, soitx∈Imf+Img.
Il existea b∈Etels quex=f(a) +g(b).
PuisqueE= kerf+ kerg, on peut écrirea=u+vavecu∈kerfetv∈kerg. On
a alorsf(a) =f(v).
De mme, on peut écrireg(b) =g(w)avecw∈kerf.
On a alorsx=f(v) +g(w) = (f+g)(v+w)carf(w) = 0etg(v) = 0. Ainsi
x∈Im(f+g).
Finalement Im(f+g) =Imf+Img.
Par suite rg(f+g) =rgf+rgg−dim(Imf∩Img) =rgf+rgg.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Im(f◦g)⊂Imfdonc rg(f◦g)6rgf.
Im(f◦g) =f(Img) =ImfImg.
Puisque la dimension d’une image est toujours inférieure à la dimension de
l’espace de départ rg(f◦g)6dimImg=rgg.
b) rg(f◦g) = dimf(Img).
Par le théorème du rang appliqué à l’application linéairefImg,
dimf(Img) + dim kerfImg= dimImgdonc rg(f◦g) =rgg−dim kerfImg.
OrkerfImg⊂kerfdoncdim kerfImg6dimE−rgfpuis
rg(f◦g)>rgf+rgg−dimE.

3

Exercice 5 :[énoncé]
La deuxième inégalité est bien connue et provient de Im(u◦v)⊂Imuqui donne
rg(u◦v)6rguet de Im(u◦v) =u(v(E)) =Imuv(E)qui donne rg(u)6rgvcar le
rang d’une application linéaire est inférieure à la dimension de l’espace de départ.
Montrons maintenant la première inégalité.
Comme déjà écrit Im(u◦v) =Imuv(E)donc par la formule du rang

rg(u◦v) = dimv(E)−dim keruv(E)

Orkeruv(E)⊂kerudonc

rg(u◦v)>rgv−dim keru=rgu+rgv−dimF

Exercice 6 :[énoncé]
a) Commençons par observer Im(g◦f)⊂Img.
(⇐) SupposonsE=Imf+ kerg.
Soity∈Img, il e