Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Projecteurs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Projecteurs

Enoncés

Exercice 1[ 00165 ][correction]
Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
a) Montrer quepetqont mme noyau si, et seulement si,p◦q=petq◦p=q.
b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante semblable pour quepetqaient
mme image.

Exercice 2Centrale MP[ 00164 ][correction]
Soientp qdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
˜
a) Montrer quep+qest un projecteur si, et seulement si,p◦q=q◦p= 0.
b) Préciser alors Im(p+q)etker(p+q).

Exercice 3[ 02468 ][correction]
Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielEvérifiantp◦q= 0.
a) Montrer quer=p+q−q◦pest un projecteur.
b) Déterminer image et noyau de celui-ci.

Exercice 4[ 00166 ][correction]
SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E).
On suppose qu’il existe un projecteurpdeEtel queu=p◦u−u◦p.
a) Montrer queu(kerp)⊂Impet Imp⊂keru.
b) En déduireu2= 0.
c) Réciproque ?

Exercice 5X MP[ 02939 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie,petqdansL(E)tels que
p◦q=qetq◦p=p. Les endomorphismespetq ?sont-ils diagonalisables
codiagonalisables ?

Exercice 6Mines-Ponts PC[ 02242 ][correction]
Soient(n p)∈(N?)2avecn > p,EetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions
respectivesnetp,u∈ L(E F)etv∈ L(F E)vérifiantu◦v=IdF.
a) Montrer quev◦uest un projecteur.
b) Déterminer son rang, son image et son noyau.

Exercice 7[ 03251 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimensionn. Montrer

fest un projecteur⇔rgf+rg(Id−f) =n

Exercice 8[ 03759 ][correction]
Soientpetqdeux projecteurs d’unR-espace vectorielEvérifiant

Imp⊂kerq

Montrer quep+q−p◦qest un projecteur et préciser son image et son noyau.

Exercice 9CCP MP[ 03359 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEsurRouCvérifiant
f◦g=Id.
a) Montrer queker(g◦f) = kerfet Im(g◦f) =Img.
b) Montrer
E= kerf⊕Img
c) Dans quel cas peut-on conclureg=f−1?
d) Calculer(g◦f)◦(g◦f)et caractériserg◦f

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Supposonskerp= kerq. On a

p◦q−p=p◦(q−Id)

Or Im(q−Id) = kerqdonc Im(q−Id)⊂kerppuis

p◦q−p= 0

Corrections

Ainsip◦q=pet de mme on obtientq◦p=q.
Inversement, sip◦q=petq◦p=qalorskerq⊂kerpetkerp⊂kerqd’où
l’égalitékerp= kerq.
b) Supposons Imp=Imq. On aker(p−Id) =Imqdonc(p−Id)◦q= 0d’où
p◦q=q. Et de façon semblable,q◦p=p.
Inversement, l’égalitép◦q=qentraîne Imq⊂Impet l’égalitéq◦p=pentraîne
Imp⊂Imq. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante cherchée est

p◦q=qetq◦p=p

Exercice 2 :[énoncé]
˜
a)(⇐)Supposonsp◦q=q◦p= 0. On a alors

(p+q)2=p2+p◦q+q◦p+q2=p+q

(⇒)Supposonsp+qPar les mmes calculs que ci-dessusprojecteur.

˜
p◦q+q◦p= 0

En composant cette relation avecpà droite et à gauche, on obtient

˜ ˜
p◦q◦p+q◦p= 0etp◦q+p◦q◦p= 0

˜
On en déduitq◦p=p◦qpuisp◦q=q◦p= 0.
b) On a évidemment
Im(p+q)⊂Imp+Imq

Inversement, pourx∈Imp+Imq, on ax=a+baveca∈Impetb∈Imq.
Puisquep◦q= 0,p(b) = 0et doncp(x) =p(a) =a. De mmeq(x) =bet donc
x=p(x) +q(x)∈Im(p+q).
Ainsi
Im(p+q) =Imp+Imq

On a évidemment
kerp∩kerq⊂ker(p+q)
Inversement pourx∈ker(p+q), on ap(x) +q(x) = 0doncp2(x) +p(q(x)) = 0
puisp(x) = 0carp2=petp◦q= 0. Ainsix∈kerpet de mmex∈kerq.
Finalement
kerp∩kerq= ker(p+q)

Exercice 3 :[énoncé]
a) Calculons

r2= (p+q−q◦p)2= (p+q−q◦p)◦(p+q−q◦p)

En développant et en exploitantp◦q= 0on obtient,

r2=p2+q◦p+q2−q2◦p−q◦p2

En exploitantp2=petq2=q, on parvient àr2=rdoncrest un projecteur.
b) Pour toutx∈E,

donc

r(x) =p(x) +q(x−p(x))∈Imp+Imq

Imr⊂Imp+Imq

Inversement, six∈Imp+Imq, on peut écrirex=a+baveca∈Impetb∈Imq.
Puisquep◦q= 0, on ap(b) = 0et puisquea∈Imp, on ap(a) =a.
Ainsip(x) =aet doncb=x−a=x−p(x).
Orb∈Imqdoncb=q(b)puisb=q(x−p(x)) =q(x)−q(p(x)).
Finalementx=a+b=p(x) +q(x)−q(p(x)) =r(x)et doncx∈Imr.
Ainsi
Imr=Imp+Imq

2

Soitx∈kerp∩kerq, on ar(x) =p(x) +q(x)−q(p(x)) = 0doncx∈kerr.
Inversement, soitx∈kerr.
On ap(x) +q(x−p(x)) = 0doncp(x) =p(p(x)) =p(q(x−p(x))) = 0carp◦q= 0.
Ainsix∈kerp. De plusp(x) +q(x−p(x)) = 0sachantp(x) = 0donneq(x) = 0et
doncx∈kerq.
Finalementkerr⊂kerp∩kerqpuis

kerr= kerp∩kerq

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Inversement, soitx∈Imp+Imq. On peut écrirex=p(a) +q(b)aveca b∈E. On
a alors par le calcul

Exercice 4 :[énoncé]
a) Six∈kerpalorsp(u(x)) =u(x) +u(p(x)) =u(x)doncu(x)∈Imp. Ainsi
u(kerp)⊂Imp.
Six∈Impalorsp(x) =xdoncu(x) =p(u(x))−u(p(x)) =p(u(x))−u(x)d’où
2u(x) =p(u(x)). Par suiteu(x)∈Impdoncp(u(x)) =u(x)et enfin la relation
précédente donneu(x) = 0. Ainsix∈keru.
b) Pourx∈E,u(x) =u(p(x)) +u(x−p(x)).
Oru(p(x)) = 0car Imp⊂keruetu(x−p(x))∈u(kerp)⊂Imp⊂kerudonc
u2(x) = 0.
c) Supposonsu2= 0. On a Imu⊂keru. Soitpune projection sur Imu. On a
p◦u=ucar les vecteurs de Imusont invariants parpet on au◦p= 0car
Imp=Imu⊂keru. Ainsi, il existe une projectionppour laquelleu=p◦u−u◦p.
La réciproque est vraie.

en vertu de la formule du rang.
Inversement, supposons
rgf+rg(Id−f) =n

Exercice 5 :[énoncé]
p◦p=p◦(q◦p) = (p◦q)◦p=q◦p=pet doncpest un projecteur. De mmeqest
un projecteur et doncpetqsont diagonalisables. Sipetqsont codiagonalisables
alorspetqcommutent et doncp=q◦p=p◦q=q. Réciproque immédiate.

Exercice 7 :[énoncé]
Sifest un projecteur alorsfest la projection sur Imfparallèlement àkerf
tandis que Id−fest la projection complémentaire surkerfparallèlement à Imf.
On en déduit
rgf+rg(Id−f) =rgf+ dim kerf=n

∀x∈E r(x) =p(x−q(x)) +q(x)

doncE⊂F+GpuisE=F+G.
OrdimF+ dimG=rgf+rg(Id−f) = dimEdoncE=F⊕Get la
décomposition d’un vecteurxen la somme def(x)∈Fet dex−f(x)∈Gest
unique. Puisquefapparaît comme associant àxle vecteur deFdans sa
décomposition en somme d’un vecteur deFet deG, on peut affirmer quefest la
projection duFparallèlement àG.

r(x) =r(p(a)) +r(q(b)) =p(a) +q(b) =x

keru⊂ker(v◦u)etdim keru=n−rgu>n−p=n−rg(v◦u) = dim ker(v◦u)

Corrections

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(p+q−p◦q)2=p+q−p◦q

Exercice 8 :[énoncé]
Puisque Imp⊂kerq, on aq◦p= 0et en développant puis en simplifiant

x=f(x) + (x−f(x))∈F+G

PosonsF=ImfetG=Im(Id−f).
Pour toutx∈E, on a

et ainsix∈Imr.
Montrons aussi

kerr= kerp∩kerq

Exercice 6 :[énoncé]
a)(v◦u)2=v◦IdF◦u=v◦udoncv◦uest un projecteur.
b) Le rang d’un projecteur est égal à sa trace donc

rg(v◦u) =tr(v◦u) =tr(u◦v) =tr(IdF) =p

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On a

L’inclusion⊂est immédiate car

On peut donc conclure quer=p+q−p◦qest un projecteur.
Montrons
Imr=Imp+Imq

On en déduit

Im(v◦u)⊂ImvetdimIm(v◦u) =rg(v◦u) =p>rg(v) = dimImv

Im(v◦u) =Imv

On a

donc

ker(v◦u) = keru

3

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L’inclusion⊃est immédiate. Inversement, pourx∈kerron a

p(x) +q(x)−p◦q(x) = 0E

Corrections

En appliquantq, on obtientq(x) = 0Epuis on en déduit aussip(x) = 0Eet ainsi