Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Généralités d'algèbre linéaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Généralités d’algèbre linéaire

Exercice 1[ 00159 ][correction]
Soitf∈ L(E)tel que pour toutx∈E,xetf(x)soient colinéaires.
Montrer quefest une homothétie vectorielle.

Exercice 2[ 03418 ][correction]
Soientf g∈ L(E F). On suppose

∀x∈E∃λx∈K g(x) =λxf(x)

Montrer qu’il existeλ∈Ktel que

g=λf

Exercice 3[ 00160 ][correction]
SoientF,GetHdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE.
Comparer :
a)F∩(G+H)et(F∩G) + (F∩H).
b)F+ (G∩H)et(F+G)∩(F+H).

Exercice 4[ 00161 ][correction]
A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un
sous-espace vectoriel ?

Exercice 5[ 00163 ][correction]
Soientn∈N?,E=Rn[X]etΔl’endomorphisme deEdéterminé par
Δ(P) =P(X+ 1)−P(X).
a) Justifier que l’endomorphismeΔest nilpotent.
b) Déterminer des réelsa0     an an+1non triviaux vérifiant :

n+1
∀P∈Rn[X]XakP(X+k) = 0
k=0

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02662 ][correction]
SoitK=Q+√2Q+√3Q+√6Q.
a) Montrer que(1√2√3√6)est uneQ-base duQ-espace vectorielK.
b) Montrer queKest un sous-corps deR.

Enoncés

Exercice 7[ 03133 ][correction]
Soienta b∈Rdistincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphismeϕde
R[X]vérifiant

ϕ(1) = 1,ϕ(X) =Xet∀P∈R[X] P(a) =P(b) = 0⇒ϕ(P) = 0

Exercice 8[ 03247 ][correction]
Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielEetFun sous-espace
vectoriel deE.
a) Exprimeru−1(u(F))en fonction deFet dekeru.
b) Exprimeru(u−1(F))en fonction deFet de Imu.
c) A quelle condition a-t-onu(u−1(F)) =u−1(u(F))?

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03286 ][correction]
Caractériser les sous-espacesFd’un espace vectorielEtels que

h−1(h(F)) =h(h−1(F))

1

Exercice 10[ 03408 ][correction]
SoitKune algèbre intègre surRde dimension finien>2. On assimileRàR1où
1est l’élément deKneutre pour le produit.
a) Montrer que tout élément non nul deKest inversible.
b) Soitaun élément deKnon situé dansR. Montrer que la famille(1 a)est libre
tandis que le famille(1 a a2)est liée.
c) Montrer l’existence dei∈Ktel quei2=−1.
d) Montrer que siKest commutative alorsKest isomorphisme àC.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Pour toutxnon nul, la liaison de la famille(x f(x))permet d’écriref(x) =λxx
avecλx∈Kunique.
Soientx ynon nuls.
Cas(x y)liée :
On peut écrirey=µxet alors

f(y) =µλxx=λxy

doncλy=λx.
Cas(x y)libre :
f(x+y) =λx+y(x+y) =λxx+λyy
doncλx=λyidentification des scalaires facteurs dans une famille libre.par
On poseλla valeur commune desλx. On a donc
∀x∈E\ {0E} f(x) =λx
et cette relation vaut aussi pourx= 0E. On peut alors concluref=λId.

Exercice 2 :[énoncé]
Soientx y∈E\kerf.
Si la famille(f(x) f(y))est libre alors les deux égalités

g(x+y) =λx+y(f(x) +f(y))etg(x+y) =λxf(x) +λyf(y)
entraînentλx=λypar identification des coefficients.
Si la famille(f(x) f(y))est liée avec alors on peut écrire

f(y) =αf(x)avecα6= 0

et doncy−αx∈kerf. Or il est immédiat d’observer que le noyau defest inclus
dans celui deget donc
g(y) =αg(x)
De plus
αg(x) =αλxf(x)etg(y) =αλyf(x)

donc à nouveauλx=λy.
Posonsλla valeur commune des scalairesλxpourxparcourantE\kerf.
Pour toutx∈E, qu’il soit danskerfou non, on peut affirmer

et doncg=λf.

g(x) =λf(x)

2

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soitx∈(F∩G) + (F∩H), on peut écrirex=u+vavecu∈F∩Get
v∈F∩H.
Commeu v∈Fon ax∈Fet commeu∈Getv∈Hon au+v∈G+H.
Par suite(F∩G) + (F∩H)⊂F∩(G+H).
L’égalité n’est pas possible, prendreF G Htrois droites distinctes d’un mme
plan.
b) Soitx∈F+ (G∩H), on peut écrirex=u+vavecu∈Fetv∈G∩H.
Commeu∈Fetv∈Gon ax∈F+Get de mmex∈F+Hdonc
x∈(F+G)∩(F+H).
L’égalité n’est pas possible, prendre à nouveau trois droites distinctes d’un mme
plan.

Exercice 4 :[énoncé]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE.
SiF⊂GouG⊂FalorsF∪GvautFouGet est évidemment un sous-espace
vectoriel deE.
Inversement, supposons queF∪Gsoit un sous-espace vectoriel deEetF6⊂G.
Il existex∈Ftel quex∈ G. Pour touty∈G,x+y∈F∪Gpar stabilité du
sous-espace vectorielF∪G. Six+y∈Galorsx= (x+y)−y∈Gce qui est
exclu. Il restex+y∈Fet alorsy= (x+y)−x∈F. AinsiG⊂F.

Exercice 5 :[énoncé]
a) On remarque que sidegP6malorsdeg Δ(P)6m−1.
On en déduit ImΔ⊂Rn−1[X], ImΔ2⊂Rn−2[X],. . . puisΔn+1= 0.
b) Introduisons l’endomorphismeT:P(X)7→P(X+ 1).
On aΔ =T−Id et par la formule du binôme de Newton (Tet Id commutent),
knX1=0+(−1)n+1−kkn+ 1!Tk= 0

Ainsi pour

on a

1
ak= (−1)kkn+!

n+1
∀P∈Rn[X]XakP(X+k) = 0
k=0

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a) Il est clair queKest un sous-espace vectoriel deRet que la famille
(1√2√3√6)estQ-génératrice.
Montrons qu’elle est libre en raisonnant par l’absurde.
Supposonsa+b√2 +c√3 +d√6 = 0aveca b c d∈Qnon tous nuls.
Quitte à réduire au mme dénominateur, on peut supposera b c d∈Znon tous
nuls.
Quitte à factoriser, on peut aussi supposer pgcd(a b c d) = 1.
On aa+b√22=c√3 +d√62donca2+ 2ab√2 + 2b2= 3c2+ 6cd√2 + 6d2.
a
Par l’irrationalité de√2on parvient au système(a2b23+=bc2d= 3c2+ 6d2.
Par suite3|abet3|a2+ 2b2donc3|aet3|b.
Ceci entraîne3|cdet3|c2+ 2d2donc3|cet3|d.
Ceci contredit pgcd(a b c d) = 1.
Ainsi la famille(1√2√3√6)estQ-libre et c’est donc uneQ-base deK.
b) Sans peine, on vérifie queKest un sous-anneau deR.
Soitx=a+b√2 +c√3 +d√6∈Kaveca b c d∈Qnon tous nuls.
a+b−
1x=(a+b√1)2(+c√3+d√6)=(a2+2b2−3c√22−6(dc2√)+2(3+da√b6−)3cd)√2=a+b√2α−+(βc√√2+3d√6)
puisx1=(a+b√2−(c√α23+−d2β√26))(α−β√2)∈Ket doncKest un sous-corps deR.
Notons que les quantités conjuguées par lesquelles on a ci-dessus multiplié ne sont
pas nuls carxest non nul et la famille(1√2√3√6)estQ-libre.

Exercice 7 :[énoncé]
Supposonsϕsolution.
SoitP∈R[X]. Par division euclidienne dePpar(X−a)(X−b)on peut écrire

P= (X−a)(X−b)Q(X) +αX+β

En évaluant cette identité enaetb, on détermineαetβ
P a)etβ=bP(a)−a
α=P(bb)−−a(b−Pa(b)

Par linéarité deϕon obtient

ϕ(P) =ϕ(αX+β) =αX+β

carϕ((X−a)(X−b)Q(X)) = 0.
Ainsi
ϕ(P) =P(bb)−−P(a)X+bP(ba)−−aPa(b)
a

ce qui détermineϕde façon unique.
Inversement, on vérifie aisément que l’applicationϕdéfinie surR[X]par la
relation précédente est un endomorphisme deR[X]résolvant le problème posé.

Exercice 8 :[énoncé]
a)u−1(u(F))est un sous-espace vectoriel deEqui contientFetkerudonc

F+ keru⊂u−1(u(F))

Inversement, soitx∈u−1(u(F