Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Dimension

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Dimension

Enoncés

Exercice 1[ 00172 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn>1,fun endomorphisme
nilpotent non nul deEetple plus petit entier tel quefp= 0.
Montrer qu’il existex∈Etel que la famille(x f(x) f2(x)     fp−1(x))soit libre
et en déduire quefn= 0.

Exercice 2[ 00173 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien∈N?etfun endomorphisme
deEtel qu’il existe un vecteurx0∈Epour lequel la famille
(x0 f(x0)     fn−1(x0))soit une base deE. On note

C={g∈ L(E)g◦f=f◦g}

a) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deL(E).
b) Observer que
C=a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1|a0     an−1∈K

c) Déterminer la dimension deC.

Exercice 3[ 03801 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn >1(avecK=RouC)
Soitfun endomorphisme deEnilpotent d’ordren.
On note
C(f) ={g∈ L(E)g◦f=f◦g}

a) Montrer queC(f)est un sous-espace vectoriel deL(E).
b) Soitaun vecteur deEtel quefn−1(a)6= 0E.
Montrer que la famille(a f(a)     fn−1(a))constitue une base deE.
c) Soitϕa:C(f)→El’application définie parϕa(g) =g(a).
Montrer queϕaest un isomorphisme.
d) En déduire que
C(f) =Vect(Id f     fn−1)

Exercice 4[ 00178 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionn. Montrer que
2
(I f f      fn2)est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non
identiquement nul qui annulef.

1

Exercice 5[ 00179 ][correction]
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies etGun sous-espace
vectoriel deE. On pose

A={u∈ L(E F)G⊂keru}

a) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deL(E F).
b) Déterminer la dimension deA.

Exercice 6[ 00180 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer que l’ensemble des endomorphismesgdeEtels quef◦g= 0est un
sous-espace vectoriel deL(E)de dimensiondimE×dim kerf.

Exercice 7[ 00182 ][correction]
SoitEun espace vectoriel de dimension finie.
a) SoientHetH0deux hyperplans deE. Montrer que ceux-ci possèdent un
supplémentaire commun.
b) SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEtels quedimF= dimG.
Montrer queFetGont un supplémentaire commun.

Exercice 8[ 03409 ][correction]
Montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie
qui sont de mme dimension ont un supplémentaire commun.

Exercice 9Centrale MP[ 00181 ][correction]
SoientKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension finie,F1etF2
deux sous-espaces vectoriels deE.
a) On supposedimF1= dimF2. Montrer qu’il existeGsous-espace vectoriel deE
tel queF1⊕G=F2⊕G=E.
b) On suppose quedimF16dimF2. Montrer qu’il existeG1etG2sous-espaces
vectoriels deEtels queF1⊕G1=F2⊕G2=EetG2⊂G1.

Exercice 10[ 00184 ][correction]
Soit(e1     ep)une famille libre de vecteurs deE,F=Vect(e1     ep)etGun
supplémentaire deFdansE. Pour touta∈G, on note

Fa=Vect(e1+a     ep+a)

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a) Montrer que

b) Soienta b∈G. Montrer

Fa⊕G=E

a6=b⇒Fa6=Fb

Exercice 11X MP[ 02909 ][correction]
SoientEun espace vectoriel,F1etF2deux sous-espaces vectoriels deE.
a) Montrer que siF1etF2ont un supplémentaire commun alors ils sont
isomorphes.
b) Montrer que la réciproque est fausse.

Exercice 12[ 03771 ][correction]
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies.
SoitWun sous-espace vectoriel deE
SoitAl’ensemble des applications linéaires deEdansF
a) Montrer queAest un espace vectoriel.
b) Trouver la dimension deA.

s’annulant surW.

Exercice 13CCP MP[ 02495 ][correction]
SoitEun plan vectoriel.
a) Montrer quefnon nul est nilpotent si, et seulement si,endomorphisme
kerf=Imf.
b) En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la formef=u◦v
avecuetvnilpotents.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈kerfp−1. Il en existe carfp−16= 0.
Supposonsλ0x+λ1f(x) +∙ ∙ ∙+λp−1fp−1(x) = 0.
En composant parfp−1la relation ci-dessus, on obtientλ0fp−1(x) = 0. Il s’en
suitλ0= 0.
En composant parfp−2     f0la relation initiale, on obtient successivement
λ1= 0,...,λp−1= 0.
La famille(x f(x)     fp−1(x))est donc libre or elle est composée depvecteurs
en dimensionnon a doncp6npuisfn=fn−p◦fp= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
a)C ⊂ L(E),0∈ C.
Soientλ µ∈Ketg h∈ C. On a

f◦(λg+µh) =λ(f◦g) +µ(f◦h) =λ(g◦f) +µ(h◦f) = (λg+µh)◦f

doncλg+µh∈ C.
b) Soitg=a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1.
On ag◦f=a0f+a1f2+∙ ∙ ∙+an−1fn=f◦gdoncg∈ C.
Ainsi
a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1fn−1|a0     an−1∈K⊂ C
Inversement, soitg∈ C.
Puisque(x0 f(x0)     fn−1(x0))est une base deE, il existea0 a1     an−1∈K
tels que :g(x0) =a0x0+a1f(x0) +∙ ∙ ∙+an−1fn−1(x0). Introduisons
h=a0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−fn−1.
1
g h∈ Cetg(x0) =h(x0)donc

g(f(x0)) =f(g(x0)) =f(h(x0)) =h(f(x0))

et de manière plus générale

g(fk(x0)) =fk(g(x0)) =fk(h(x0)) =h(fk(x0))

Ainsigethprennent mmes valeurs sur la base(x0 f(x0)     fn−1(x0))donc
g=h.
Ainsi
C ⊂an−1fn−1+∙ ∙ ∙+a1f+a0Id|a0     an−1∈K
puis l’égalité.
c) On aC=Vect(Id f f2     fn−1).

n−1=
De plus sia0Id+a1f+∙ ∙ ∙+an−1f0alors en évaluant enx0

a0x0+a1f(x0) +∙ ∙ ∙+an−1fn−1(x0) = 0

3

or la famille(x0 f(x0)     fn−1(x0))est libre donca0=a1=∙ ∙ ∙=an−1= 0.
La famille(Id f f2     fn−1)est une famille libre et génératrice deC, c’est donc
une base deC.
Par suitedimC=n.

Exercice 3 :[énoncé]
˜
a)C(f)⊂ L(E),0∈ C(f).
Soientλ µ∈Ketg h∈ C(f). On a

f◦(λg+µh) =λ(f◦g) +µ(f◦h) =λ(g◦f) +µ(h◦f) = (λg+µh)◦f

doncλg+µh∈ C(f).
b) Supposons
λ0a+λ1f(a) +∙ ∙ ∙+λn−1fn−1(a) = 0E
En appliquantfn−1à cette relation, on obtientλ0fn−1(a) = 0Eet doncλ0= 0
carfn−1(a)6= 0E.
En répétant l’opération, on obtient successivement la nullité de chaqueλk.
La famille(a f(a)     fn−1(a))est alors libre puis base deEcar constituée de
n= dimEvecteurs deE.
c) L’applicationϕaest linéaire car

ϕa(λf+µg) =λf(a) +µg(a) =λϕa(f) +µϕa(g)

Siϕa(g) = 0Ealorsg(a) = 0Epuisg(f(a)) =f(g(a)) = 0E, etc. L’applicationg
est alors nulle sur une base et c’est donc l’application nulle. Ainsiϕaest injective.
Soitb∈E. Considérons l’application linéairegdéfinie par

g(a) =b,g(f(a)) =f(b),. . . ,g(f(n−1)(a)) =f(n−1)(b)

L’application linéairegest entièrement définie par l’image d’une base et l’on
vérifieg◦f=f◦gsur chaque vecte