Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Base d'un espace vectoriel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Base d’un espace vectoriel

Enoncés

Exercice 1[ 00167 ][correction]
Poura∈R, on notefal’application deRversRdéfinie parfa(x) =|x−a|.
Montrer que la famille(fa)a∈Rest une famille libre d’éléments de l’espaceF(RR)

Exercice 2[ 00168 ][correction]
Poura∈C, on noteeal’application deRversCdéfinie parea(t) = exp(at).
Montrer que la famille(ea)a∈Cune famille libre d’éléments de l’espaceest F(RC).

Exercice 3[ 00169 ][correction]
Poura∈R+, on notefal’application deRversRdéfinie par

fa(t) = cos(at)

Montrer que la famille(fa)a∈R+est une famille libre d’éléments de l’espace de
F(RR).

Exercice 4[ 00170 ][correction]
Soit(pn)n∈N?la suite strictement croissante des nombres premiers.
Montrer que la famille(lnpn)n∈N?est une famille libre duQ-espace vectorielR.

Exercice 5[ 00171 ][correction]
SoitEl’ensemble des applicationsf: [−11]→Rcontinues telles que les
restrictionsf|[−10]etf|[01]soient affines.
a) Montrer queEest unR-espace vectoriel.
b) Donner une base deE.

Exercice 6CCP MP[ 00074 ][correction]
Pourp∈Neta∈R {01}, on noteSpl’ensemble des suites(un)vérifiant

∃P∈Rp[X]∀n∈N un+1=aun+P(n)

a) Montrer que siu∈Sp,P on le notera ;est uniquePu.
b) Montrer queSpest unR-espace vectoriel.
c) Montrer queφ, qui àuassociePu, est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image ?

d) Donner une base deSp(on pourra utiliserRk(X) = (X+ 1)k−aXkpour
k∈[0 p]).
e) Application : déterminer la suite(un)définie par

u0=−2etun+1= 2u−2n+ 7
n

1

Exercice 7[ 01761 ][correction]
a) Montrer que la famille(X+k)npourk∈ {0     n}constitue une base de
Rn[X].
b) Redémontrer la formule donnant l’expression du déterminant de Vandermonde

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soienta1     an∈Rdes réels deux à deux distincts. Supposons
λ1fa1+∙ ∙ ∙+λnfan= 0. Pour touti∈ {1     n}, siλi6= 0alors
λ1fa1+∙ ∙ ∙+λnfann’est pas dérivable enaialors que la fonction nulle l’est.
Nécessairementλi= 0et la famille étudiée est donc libre.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Montrons que toute sous-famille finie ànéléments de(ea)a∈Cest libre.
Par récurrence surn>1. Pourn= 1: ok Supposons la propriété établie au rang
n>1.
Soienta1     an+1complexes distincts et supposonsλ1e+∙ ∙ ∙+λn+1ean+1= 0
a1
(1). En dérivant cette relation :
a1λ1ea1+∙ ∙ ∙+an+1λn+1ean+1= 0(2). La combinaison linéairean+1(1)−(2)
donneλ1(an+1−a1)ea1+∙ ∙ ∙+λn(an+1−an)ean= 0. Par hypothèse de
récurrence et en exploitant que lesaisont deux à deux distincts, on obtient
λ1= =λn= 0puis ensuite aisémentλn+1= 0. Récurrence établie.


Exercice 3 :[énoncé]
Montrons que toute sous-famille finie ànéléments de(fa)a∈R+est libre.
Par récurrence surn>1.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.
Soienta1     an+1des réels positifs distincts et supposons

λ1fa1+∙ ∙ ∙+λn+1fan+1= 0(1)

En dérivant 2 fois cette relation :

2
a12λ1fa1+∙ ∙ ∙+an+1λn+1fan+1= 0(2)

La combinaisona2n+1(1)−(2)donne

λ1(an+21−a12)fa1+∙ ∙ ∙+λn(an21+−an2)fan= 0

Par hypothèse de récurrence et en exploitant que lesai2sont deux à deux distincts,
on obtientλ1=  =λn= 0puis ensuite aisémentλn+1= 0. Récurrence établie.

Exercice 4 :[énoncé]
Supposons
λ1lnp1+∙ ∙ ∙+λnlnpn= 0avecλk∈Q
En réduisant au mme dénominateur on parvient à

a1lnp1+∙ ∙ ∙+anlnpn= 0avecak∈Z

puis
lnYpkak= 0
k
et enfin
Ypkak=Ypk−ak
kak>0kak<0
L’unicité de la décomposition primaire d’un entier permet alors de conclure
ak= 0pour toutk∈ {1     n}.

Exercice 5 :[énoncé]
a)Eest un sous-espace vectoriel deC([−11]R).
b)x7→1,x7→xetx7→ |x|forment une base deE.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Siu∈Spet si deux polynômesP Qconviennent pour exprimerun+1en
fonction deunalors
∀n∈N P(n) =Q(n)

2

Puisque le polynômeP−Qpossède une infinité de racines, c’est le polynôme nul
et doncP=Q.
b)Sp⊂RN,0∈Sp(avecP= 0).
Soientλ µ∈Retu v∈Sp.
Pour toutn∈N, on obtient aisément

(λu+µv)n+1=a(λu+µv)n+ (λPu+µPv)(n)

et doncλu+µv∈SpavecPλu+µv=λPu+µPv∈Rp[X].
Spest un sous-espace vectoriel deRNdonc c’est unR-espace vectoriel.
c) Ci-dessus, on a obtenuPλu+µv=λPu+µPvce qui correspond à la linéarité de
l’applicationφ.
u∈kerφsi, et seulement si,Pu= 0ce qui signifie queuest une suite géométrique
de raisona.

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Corrections

On en déduit que la suite(an)n∈Nest un vecteur directeur de la droite vectorielle
qu’est le noyau deφ.
L’image deφestRp[X]car l’applicationφest surjective puisque pour tout
polynômeP∈R[X], on peut définir une suite élément deSppar la relation

u0∈Ret∀n∈N un+1=aun+P(n)

d) La famille(R0 R1     Rp)une famille de polynômes de degrés étagés deest
Rp[X], elle forme donc une base deRp[X]. Pourk∈[0 p], il est facile de
déterminer une suiteu= (un)∈SpvérifiantSu=Rkcar

un+1=aun+Rk(n)⇔un+1−(n+

Ainsi la suite
u:n7→nk
convient.
Considérons alors la famille formée des suites

1)k=a(un−nk)

v:n7→anetvk:n7→nkaveck∈[0 p]

Supposons
λv+λ0v0+∙ ∙ ∙+λpvp= 0
En appliquantφ, on obtient

λ0R0+∙ ∙ ∙+λpRp= 0

doncλ0=  =λp= 0puis la relation initiale donneλ= 0carv6= 0
.
La famille(v v0     vp)est donc libre.
De plus, en vertu de la formule du rang

dimSp ker= dimφ+rgφ= 1 + (p+ 1) =p+ 2

donc la famille(v v0     vp)est une base deSp.
e) En reprenant les notations qui précèdent, on peut écrire

On a

u=λv+λ0v0+λ1v1

Pu=λ0R0+λ1R1=−2X+ 7
etλ0=−5.

PuisqueR0=−1etR1= 1−X, on obtientλ1= 2
Par suite
un=λ2n+ 2n−5
Puisqueu0=−2, on obtientλ= 7.
Finalement
un= 32n+ 2n−5

Exercice 7 :[énoncé]
a) La matrice de la famille étudiée dans la base canonique deRn[X]a pour
coefficient général
aij=ni!jiavec06i j6n

En factorisant par ligne le déterminant de cette matrice est
n
Y0in!Vn+1(01     n)6= 0
i=

avecVn+1(a0     an)déterminant de Vandermonde.
b) cf. cours.

3

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