Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Idéaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Idéaux

Exercice 1[ 00134 ][correction]
Quels sont les idéaux d’un corpsK?

Enoncés

Exercice 2[ 00135 ][correction]
On note
D=n10pnp∈Z n∈No
l’ensemble des nombres décimaux.
a) Montrer queDest un sous-anneau de(Q+×).
b) Montrer que les idéaux deDsont principaux (c’est-à-dire de la formeaDavec
a∈D).

Exercice 3[ 03635 ][correction]
SoitIun idéal de l’anneau produit(Z2+×).
a) On poseI1={x∈Z(x0)∈I}etI2={y∈Z(0 y)∈I}.
Montrer queI1etI2sont des idéaux de(Z+×).
b) EtablirI=I1×I2.
c) Conclure que les idéaux de l’anneau(Z2+×)sont tous principaux.

Exercice 4[ 00136 ][correction]
[Nilradical d’un anneau]
On appelle nilradical d’un anneau commutatif(A+×)l’ensembleNformé des
éléments nilpotents deAi.e. desx∈Atels qu’il existen∈N?vérifiantxn= 0.
Montrer queNest un idéal deA.

Exercice 5[ 00137 ][correction]
[Radical d’un idéal]
SoitIun idéal d’un anneau commutatifA. On noteR(I)l’ensemble des éléments
xdeApour lesquels il existe un entiernnon nul tel quexn∈I.
a) Montrer queR(I)est un idéal deAcontenantI.
b) Montrer que siIetJsont deux idéaux alors

R(I∩J) =R(I)∩R(J)etR(I+J)⊃R(I) +R(J)

c) On suppose queA=Z. Montrer que l’ensemble des entiersnnon nuls tels que
R(nZ) =nZest exactement l’ensemble des entiers sans facteurs carrés.

Exercice 6[ 00138 ][correction]
SoientAun anneau commutatif eteun élément idempotent deA(i.e.e2=e).
a) Montrer queJ={x∈Axe= 0}est un idéal deA.
b) On noteI=Ael’idéal principal engendré pare. DéterminerI+JetI∩J.
c) Etablir que pour tout idéalKdeA:

(K∩I) + (K∩J) =K

Exercice 7[ 00140 ][correction]
[Idéaux premiers]
Un idéalId’un anneau commutatif(A+×)est dit premier si, et seulement si,

∀x y∈A xy∈I⇒x∈Iouy∈I

a) Donner un exemple d’idéal premier dansZ.
b) SoitP∈K[X]un polynôme irréductible. Montrer quePK[X]est premier.
c) SoientJetKdeux idéaux deA. Montrer

J∩K=I⇒(J=IouK=I)

d) Soit(A+×)un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que
Aest intègre puis queAest un corps.

1

Exercice 8[ 00141 ][correction]
[Zest noethérien]
Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux deZest stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux deK[X]?.

Exercice 9Centrale MP[ 02367 ][correction]
SoitAun sous-anneau deQ.
a) Soitpun entier etqun entier strictement positif premier avecp. Montrer que
sipq∈Aalors1q∈A.
b) SoitIun idéal deAautre que{0}. Montrer qu’il existen∈N?tel que
I∩Z=nZet qu’alorsI=nA.
c) Soitpun nombre premier. On pose

Zp={ab;a∈Z b∈N? p∧b= 1}
Montrer que six∈Q?alorsxou1xappartient àZp.
d) On suppose ici quexou1xappartient àApour toutx∈Q?. On noteI
l’ensemble des éléments non inversibles deA.
Montrer queIinclut tous les idéaux stricts deA. En déduire queA=Qou
A=Zppour un certain nombre premierp.

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Enoncés

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02661 ][correction]
Soitpun nombre premier. On noteZpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?etp
ne divise pasb. On noteJpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?,pdiviseaetp
ne divise pasb.
a) Montrer queZpest un sous-anneau deQ.
b) Montrer queJpest un idéal deZpet que tout idéal deZpautre queZpest
inclus dansJp.
c) Déterminer les idéaux deZp.

Exercice 11[ 02450 ][correction]
SoitAun sous-anneau d’un corpsK.
On suppose :
∀x∈K\ {0} x∈Aoux−1∈A

et on formeIl’ensemble des éléments de l’anneauAnon inversibles.
a) Montrer queIest un idéal deA.
b) Montrer que tout idéal deAautre queAest inclus dansI.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoitIun idéal d’un corpsK. SiI6={0}alorsIcontient un élémentxnon nul.
Puisquex∈Ietx−1∈Kon a1 =xx−1∈Ipuis pour touty∈K,y= 1×y∈I
et finalementI=K. Les idéaux deKsont donc{0}etK.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Il suffit de vérifier les axiomes définissant un sous-anneau. . .
b) SoitIun idéal deD. L’intersectionI∩Zest un sous-groupe de(Z+)donc il
existea∈Zvérifiant
I∩Z=aZ

Puisquea∈I, on aaD⊂I.
Inversement, soitx∈I. On peut écrire
x01=pnavecp∈Zetn∈N
On a alors10nx∈Ipar absorption doncp∈I∩Z. On en déduita|ppuisx∈aD.
FinalementI=aD

Exercice 3 :[énoncé]
a)I1⊂Zet0∈I1car(00) = 0Z2∈I.
Soientx x0∈I1. On a(x+x00) = (x0) + (x00)∈Idoncx+x0∈I1.
Soit de plusa∈Z. On a(ax0) = (a1234)×(x0)∈Idoncax∈I1.
AinsiI1est un idéal de(Z+×)et de façon analogueI2aussi.
b) Soit(x y)∈I1×I2. On a(x0)∈Iet(0 y)∈Idonc(x y) = (x0) + (0 y)∈I.
AinsiI1×I2⊂I.
Inversement soit(x y)∈I.
On a(x0) = (x y)×(10)∈Idoncx∈I1. De mmey∈I2et donc
(x y)∈I1×I2.
FinalementI⊂I1×I2puisI=I1×I2.
c) Les idéaux de(Z+×)sont principaux donc il existea b∈Ztels queI1=aZ
etI2=bZ. L’idéalIapparaît alors comme étant celui engendré par(a b)et il est
donc principal.

Exercice 4 :[énoncé]
N⊂A,0∈NdoncN6=∅. Pourx y∈N, il existen m∈N?tel que
xn=ym= 0.

Par la formule du binôme,
(x+y)n+m−1=n+k=mX0−1n+km−1!xkyn+m−1−k

Pourk>n,xk= 0et pourk6n−1,yn+m−1−k= 0. Dans les deux cas
xkyn+m−1−k= 0et donc(x+y)n+m−1= 0. Par suitex+y∈N.
Enfin poura∈Aetx∈N,ax∈Ncar(ax)n=anxn.

3

Exercice 5 :[énoncé]
a) Par définitionR(I)⊂A
01= 0∈Idonc0∈R(I).
Soientx y∈R(I), il existen m∈N?tels quexn ym∈I.
On a alors
n−1
(x+y)n+m=X=0n+km−1!xkyn+m−1−k+n+k=Xnm−1n+km−1!xkyn+m−1−k∈I
−1
k

car les premiers termes de la somme sont dansIpuisqueyn+m−1−k∈Iet les
suivants le sont aussi carxk∈I
doncx+y∈R(I).
Soit de plusa∈A. On a(ax)n=anxn∈Idoncax∈R(I).
AinsiR(I)est un idéal deA.
Soitx∈I, on ax1∈Idoncx∈R(I).
b) Six∈R(I∩J)alors il existen∈N?tel quexn∈I∩J.
On a alorsxn∈Idoncx∈R(I)et de mmex∈R(J). Ainsi

R(I∩J)⊂R(I)∩R(J)

Soitx∈R(I)∩R(J). Il existen m∈N?tel quexn∈Ietxm∈J.
PourN= max(m n), on a par absorptionxN∈IetxN∈JdoncxN∈I∩J.
Ainsix∈R(I∩J)et on peut affirmer

R(I∩J)⊃R(I)∩R(J)

puis l’égalité.
PuisqueI⊂I+J, on a clairementR(I)⊂R(I+J). De mmeR(J)⊂R(I+J).
EnfinR(I+J)étant stable par sommeR(I) +R(J)⊂R(I+J).
c) Sina un facteur carréd2avecd>2.
Posonsk∈Ztel quen=d2k.
On adk ∈nZet(dk)2=nk∈nZdoncdk∈R(nZ). AinsiR(nZ)6=nZ.

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Corrections

Sinn’a pas de facteurs carrés alorsns’écritn=p1p2   pmavecp1     pm
nombres premiers deux à deux distincts.
Pour toutx∈R(nZ), il existek∈N?tel quexk∈nZ.
Tous lesp1     pmsont alors facteurs premiers dexkdonc dexet par conséquent
ndivisex.
FinalementR(nZ)⊂nZpuisR(nZ) =nZ